Question

15．如圖所示，P是傾角為30°的光滑固定斜面．勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定在斜面底端的固定擋板C上，另一端與質(zhì)量  物塊A相連接．細繩另一端系物體A上，細繩跨過不計質(zhì)量和摩擦的定滑輪，另有一個不計質(zhì)量的小掛鉤，小掛鉤不掛任何物體時，物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)，細繩與斜面平行．小掛鉤上輕輕掛上一個質(zhì)量也為m物塊B后，物體A沿斜面向上運動，斜面足夠長，運動過程中物塊B始終未接觸地面．已知重力加速度為g=10m/s²
（1）求小掛鉤不掛任何物體時彈簧的壓縮量為x₁
（2）設(shè)物塊A沿斜面上升通過Q點位置時速度最大，求Q點到出發(fā)點距離x₀及最大速vm；
（3）把物塊B質(zhì)量變?yōu)閚m（n＞0.5），小明同學(xué)認為，只要n足夠大，就可以使物塊A沿斜面上滑到Q點時速度增大到2v_m，你認為是否正確？如果正確，請說明理由，如果不正確，請求出A沿斜面上升到Q點位置時速度范圍．

Answer 1

分析 （1）小掛鉤不掛任何物體時，物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)，由平衡條件求出彈簧的形變量；
（2）當(dāng)A受到的合力為零時速度最大，根據(jù)平衡條件求出形變量，再由機械能守恒定律可以求出最大速度．
（3）由機械能守恒定律求出A的速度，然后求出速度的大小范圍．

解答 解：（1）小掛鉤不掛任何物體時，物體A處于靜止?fàn)顟B(tài)，由平衡條件得：mgsin30°=kx，
得：x=$\frac{mg}{2k}$，
（2）當(dāng)A受到的合力為零時速度最大，此時：
mgsin30°+kx′=mg，
解得：x=x′=$\frac{mg}{2k}$，
Q點到出發(fā)點的距離：x₀=2x=$\frac{mg}{k}$；
在出發(fā)點與Q彈簧的形變量相同，彈簧的彈性勢能相等，
由機械能守恒定律得：mgx₀=mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}$•2mv²，
解得，最大速度：v_m=g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$；
（4）B的質(zhì)量變?yōu)閚m時，由機械能守恒定律得：
nmgx₀=mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}$•（nm+m）v²，
解得：v=g$\sqrt{\frac{m（2n-1）}{k（n+1）}}$，
n→∞時，v=g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$=2v_m，
由于n不會達到無窮大，因此速度不會達到2v_m，
小明的說法是錯誤的，速度范圍是：0＜v＜g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$．
答：（1）小掛鉤不掛任何物體時彈簧的壓縮量為x₁為$\frac{mg}{2k}$；
（2）設(shè)物塊A沿斜面上升通過Q點位置時速度最大，Q點到出發(fā)點距離為$\frac{mg}{k}$，最大速為g$\sqrt{\frac{m}{2k}}$；
（3）小明的觀點錯誤，A沿斜面上升到Q點位置時速度范圍為0＜v＜g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$．

點評 本題考查牛頓第二定律的應(yīng)用及機械能守恒定律；要分析清楚物體的運動過程，應(yīng)用牛頓第二定律與機械能守恒定律可以正確解題，難度適中．