Question

17．某游樂場中一種玩具車的運動情況可以簡化為如下模型：如圖所示，軌道ABCD位于豎直平面內，水平軌道AB與半圓弧軌道BC相切于B點；C與圓心O等高；最高點D處有一豎直彈性小擋板（如圖中黑短線所示）；質量m=10kg的小車Q（可視為質點）靜止在水平軌道上的點A；已知A點與B點相距L=40m（圖中AB之間的虛線表示未畫完整的水平軌道），豎直圓軌道的半徑R=3m，圓弧光滑；小車在水平軌道AB間運動時受到的阻力恒為其重力的0.25倍．其它摩擦與空氣阻力均忽略不計．（g取10m/s²）
（1）若小車在水平向右的恒力F的作用下由靜止出發(fā)沿軌道AC運動，恰好能到達軌道的C點．求：恒力F的大小和此過程中小車速度最大時的位置．
（2）若小車用自帶的電動機提供動力，電動機輸出功率恒為P=50W，要使小車不脫離軌道，求發(fā)動機工作時間t需滿足的條件（設經過所求的時間，小車還沒到B點）．

Answer 1

分析 （1）從A到C的過程中有動能定理求的拉力，根據力的合成與分解即可求得速度最大的位置；
（2）小球不脫離軌道，小車在圓弧上到達的最高點在C點之下或小車能上升到最高點D，碰擋板后再原路返回，由動能定理和圓周運動即可求得

解答 解：（1）從A到C由動能定理可知F（L+R）-μmgL-mgR=0-0
$F=\frac{μmgL+mgR}{L+R}=\frac{1300}{43}N=2.3N$
當在運動方向上合力為零時速度最大，在圓弧上的E點，EO與豎直方向的夾角$tanθ=\frac{F}{mg}=\frac{2.3}{100}=\frac{23}{1000}$
（2）設μ=0.25
不脫離軌道情景一：小車在圓弧上到達的最高點在C點之下．
臨界：AC過程列動能定理Pt₁-μmgL-mgR=0-0
得t₁≤26s
此后，再從C點返回，在BA段上能通過的距離為xmgR=μmgx
的x=4R=12m＜L
故不會從軌道左端滑出   
不脫離軌道情景二：小車能上升到最高點D，碰擋板后再原路返回．
要到最高點D，需滿足$mg≤m\frac{v_D^2}{R}$
A到D過程列動能定理得$P{t_2}-μmgL-mg2R=\frac{1}{2}mv_D^2$
臨界t₂≥35s
又因為返回后不能從左端A處掉下，工作時間t₃必須滿足Pt₃≤2μmgL
得t₃≤40s
故：為了使得小車不脫離軌道，發(fā)動機工作時間必須滿足t₁≤26s或者35s≤t₂≤40s．
答：（1）恒力F的大小為2.3N，此過程中小車速度最大時的位置為在圓弧上與豎直夾角的正切值為$\frac{23}{1000}$．
（2）若小車用自帶的電動機提供動力，電動機輸出功率恒為P=50W，要使小車不脫離軌道，發(fā)動機工作時間t需滿足的條件t₁≤26s或者35s≤t₂≤40s．

點評 本題主要考查了動能定理，再低二問中，抓住沿軌道運動：不能到達最高點，在C點下方速度減到零，或者到達最高點做圓周運動，再結合動能定理即可求得