Question

7．如圖所示，質(zhì)量均為m、電荷量均為q的兩帶異種電荷的粒子從O點(diǎn)進(jìn)入邊界水平的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，帶負(fù)電粒子的速度v₁=v₀，方向與磁場(chǎng)水平邊界MN的夾角α=30°，帶正電粒子的速度v₂=$\sqrt{3}$v₀，兩粒子速度方向垂直．已知?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里，兩粒子同時(shí)到達(dá)磁場(chǎng)邊界，不計(jì)重力及粒子間相互作用．
（1）求兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)間的距離d．
（2）求兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔△t．
（3）若MN下方有平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且兩粒子出磁場(chǎng)后即在電場(chǎng)中相遇，其中帶負(fù)電粒子做直線運(yùn)動(dòng)．求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）作出兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由牛頓第二定律求出半徑，結(jié)合幾何知識(shí)求出d；
（2）根據(jù)公式t=$\frac{θ}{2π}$T求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）由題意，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向應(yīng)與粒子1穿出磁場(chǎng)的方向平行，分為與粒子速度方向相同和相反兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)：

根據(jù)牛頓第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子1圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角θ₁=$\frac{5}{3}$π，OA=2r₁sinθ₁            
粒子2圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角θ₂=$\frac{2}{3}$π，OB=2r₂sinθ₂
故d=OA+OB=2r₁sin30°+2r₂sin60°=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$
（2）粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πr}{v}$
粒子1在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$T
粒子2在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$T
所以有：△t=t₁-t₂=$\frac{πm}{3qB}$
（3）由題意，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向應(yīng)與粒子1穿出磁場(chǎng)的方向平行．

情況一：若電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與MN成30°角斜向右上，則粒子1做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，粒子2做類平拋運(yùn)動(dòng)．
Eq=ma   
ABcos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at²
ABsin30°=v₂t 
解得：E=$\sqrt{3}$Bv₀ 
情況二：若電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與MN成30°角斜向左下，則粒子1做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，粒子2做類平拋運(yùn)動(dòng)．
Eq=ma
ABcos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at²
ABsin30°=v₂t
解得：E=-$\sqrt{3}$Bv₀，假設(shè)不成立，
綜上所述，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=3Bv₀，方向與MN成30°角斜向右上．   
答：（1）兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)A、B之間的距離是$\frac{4m{v}_{0}}{Bq}$；
（2）兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）若MN下方有平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且兩粒子在電場(chǎng)中相遇，其中的粒子1做直線運(yùn)動(dòng)．電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\sqrt{3}$Bv₀，方向與MN成30°角斜向右上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是要正確畫出粒子軌跡過(guò)程圖，再與幾何關(guān)系聯(lián)立，對(duì)學(xué)生幾何能力要求較高，注意第（3）問(wèn)由于電場(chǎng)的方向不確定，所以存在兩種可能的情況，注意分析取舍．