Question

5．如圖所示，有一水平放置，左右寬度不同的固定光滑導(dǎo)軌MNPQ、M′N′P′Q′，其中左側(cè)導(dǎo)軌MNM′′N寬度為2d，右側(cè)導(dǎo)軌PQP′Q′寬度為d，在MNM′N′、PQP′Q′上分別有一根導(dǎo)體棒ab、cd，單位長度的電阻為r₀，導(dǎo)體棒質(zhì)量均為m，整個裝置處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度為B（圖中未畫出）．在t=0時刻，固定導(dǎo)體棒ab，在導(dǎo)體棒cd上施加一個水平向右的拉力F，使其向右做加速度為a的勻加速運動，在T=t₀時撤去外力，隨后釋放導(dǎo)體棒ab，ab、cd兩導(dǎo)體棒均在導(dǎo)軌上運動，假設(shè)兩側(cè)導(dǎo)軌均足夠長，導(dǎo)軌電阻不計，求：

（1）外力F隨時間變化的關(guān)系；
（2）在0～t₀時間內(nèi)通過ab棒的電荷量；
（3）釋放導(dǎo)體棒ab后，cd棒最終速度為v₁，求ab棒的最終速度v₂及在t₀時刻后ab棒上產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求出感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流，由安培力公式求出安培力，由牛頓第二定律即可求出外力F隨時間變化的關(guān)系式；
（2）根據(jù)運動學(xué)公式求出cd棒的位移，由感應(yīng)電量公式求出在0～t₀時間內(nèi)通過ab棒的電荷量；
（3）最終穩(wěn)定時，回路電流為0，磁通量不變，單位時間內(nèi)cd棒掃過的面積等于ab棒掃過的面積，即可得出${v}_{2}^{\;}$，根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)減少的動能等于產(chǎn)生的總熱量，ab棒電阻是cd棒的2倍，所以ab棒產(chǎn)生的熱量是總熱量的$\frac{2}{3}$；

解答 解：（1）ab棒電阻${R}_{1}^{\;}=2d{r}_{0}^{\;}$，
cd棒電阻${R}_{2}^{\;}=d{r}_{0}^{\;}$
在t時刻，cd棒速度v=at
電動勢E=Bdv=Bdat
電流$I=\frac{E}{{R}_{1}^{\;}+{R}_{2}^{\;}}=\frac{Bdat}{3d{r}_{0}^{\;}}=\frac{Bat}{3{r}_{0}^{\;}}$
cd棒受到的安培力${F}_{cd}^{\;}=BId=\frac{{B}_{\;}^{2}dat}{3{r}_{0}^{\;}}$
由牛頓第二定律$F-{F}_{cd}^{\;}=ma$，
得$F=\frac{{B}_{\;}^{2}dat}{3{r}_{0}^{\;}}+ma$
（2）當(dāng)ab棒開始運動時，cd棒運動過的距離${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
由公式$q=\frac{△Φ}{{R}_{1}^{\;}+{R}_{2}^{\;}}=\frac{Bd•\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}}{3d{r}_{0}^{\;}}$，
可得$q=\frac{Ba{t}_{0}^{2}}{6{r}_{0}^{\;}}$
（3）最終回路的電流必定為零，故最終狀態(tài)中單位時間內(nèi)cd棒掃過的面積等于ab棒掃過的面積，即${v}_{1}^{\;}d=2{v}_{2}^{\;}d$，即${v}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{1}^{\;}$
${t}_{0}^{\;}$時刻后，回路中產(chǎn)生的總熱量等于兩棒的動能減少量，即${Q}_{總}^{\;}=\frac{1}{2}m（a{t}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{a}_{\;}^{2}{t}_{0}^{2}-\frac{5}{8}m{v}_{1}^{2}$
ab棒上產(chǎn)生的熱量為$Q=\frac{2}{3}{Q}_{總}^{\;}=\frac{1}{3}m{a}_{\;}^{2}{t}_{0}^{2}-\frac{5}{12}m{v}_{1}^{2}$
答：（1）外力F隨時間變化的關(guān)系$F=\frac{{B}_{\;}^{2}dat}{3{r}_{0}^{\;}}+ma$；
（2）在0～t₀時間內(nèi)通過ab棒的電荷量$\frac{Ba{t}_{0}^{2}}{6{r}_{0}^{\;}}$；
（3）釋放導(dǎo)體棒ab后，cd棒最終速度為v₁，ab棒的最終速度${v}_{2}^{\;}$為$\frac{1}{2}{v}_{1}^{\;}$，在t₀時刻后ab棒上產(chǎn)生的熱量Q為$\frac{1}{3}m{a}_{\;}^{2}{t}_{0}^{2}-\frac{5}{12}m{v}_{1}^{2}$

點評 考查學(xué)生運用電磁感應(yīng)，動力學(xué)和能量關(guān)系綜合解題的能力，從受力分析和能量角度分析是解決電磁感應(yīng)問題的常規(guī)套路．