Question

【題目】如圖的環(huán)狀軌道處于豎直面內(nèi)，它由半徑分別為R和2R的兩個(gè)半圓軌道、半徑為R的兩個(gè)四分之一圓軌道和兩根長度分別為2R和4R的直軌道平滑連接而成．以水平線MN和PQ為界，空間分為三個(gè)區(qū)域，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平向里的勻強(qiáng)磁場，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ有豎直向上的勻強(qiáng)電場．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小環(huán)穿在軌道內(nèi)，它與兩根直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（0＜μ＜1），而軌道的圓弧形部分均光滑．將小環(huán)在較長的直軌道CD下端的C點(diǎn)無初速釋放（已知區(qū)域Ⅰ和Ⅱ的勻強(qiáng)電場場強(qiáng)大小為E= ，重力加速度為g），

求：
（1）小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)速度vA的大��；
（2）小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)受到軌道壓力？
（3）若從C點(diǎn)釋放小環(huán)的同時(shí)，在區(qū)域Ⅱ再另加一垂直于軌道平面向里的水平勻強(qiáng)電場，其場強(qiáng)大小為E′= ，則小環(huán)在兩根直軌道上通過的總路程多大？

Answer 1

【答案】
（1）解：從C到A，洛倫茲力不做功，小環(huán)對(duì)直軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力．由動(dòng)能定理，有：

qE5R﹣mg5R= 可得：vA=

答：小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)速度vA的大小= ；

（2）解：過A點(diǎn)時(shí)，研究小環(huán)，由受力分析和牛頓第二定律，有：

FN+mg﹣qvAB﹣qE=m 解得 FN=11mg+qB 方向向下

答：小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)受到軌道壓力為11mg+qB ，方向向下．

（3）解：由于0＜μ＜1，小環(huán)必能通過A點(diǎn)，以后有三種可能：

①有可能第一次過了A點(diǎn)后，恰好停在K點(diǎn)，則在直軌道上通過的總路程為：S總=4R

②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復(fù)若干次后，最后一次從A點(diǎn)下來恰好停在K點(diǎn)，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，由動(dòng)能定理，有：qE3R﹣mg3R﹣μqE′S總=0 得：s總=

③還可能最終在D或D′點(diǎn)速度為零（即在D與D′點(diǎn)之間振動(dòng)），由動(dòng)能定理，有：

qE4R﹣mg4R﹣μqE′S總=0得：s總=

答：①有可能第一次過了A點(diǎn)后，恰好停在K點(diǎn)，S總=4R；

②也有可能在水平線PQ上方的軌道上往復(fù)若干次后，最后一次從A點(diǎn)下來恰好停在K點(diǎn)，s總=

③還可能最終在D或D′點(diǎn)速度為零（即在D與D′點(diǎn)之間振動(dòng)），s總= ．

【解析】（1）小環(huán)從C到A，洛倫茲力不做功，重力做負(fù)功，電場力做正功．小環(huán)對(duì)直軌道無壓力，也就不受軌道的摩擦力．根據(jù)動(dòng)能定理求解．
（2）小環(huán)在第一次通過軌道最高點(diǎn)A時(shí)，受到軌道的彈力，重力，洛倫茲力，電場力，四個(gè)力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道的壓力．
（3）因?yàn)棣蹋?，小環(huán)在直桿受到的重力與電場力的合力向上，大于滑動(dòng)摩擦力μmg，則小環(huán)必能通過A點(diǎn)．分三種討論研究：①小環(huán)恰好停在K點(diǎn)，②有可能在水平線PQ上方的軌道上往復(fù)若干次后，最后一次從A點(diǎn)下來恰好停在K點(diǎn)，③在D與D′點(diǎn)之間振動(dòng)，小環(huán)在D或D′點(diǎn)速度為零．滑動(dòng)摩擦力做功與路程有關(guān)，根據(jù)動(dòng)能定理求解路程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解向心力的相關(guān)知識(shí)，掌握向心力總是指向圓心，產(chǎn)生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，千萬不可在物體受力之外再添加一個(gè)向心力，以及對(duì)動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用的理解，了解應(yīng)用動(dòng)能定理只考慮初、末狀態(tài)，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質(zhì)和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問題，都可以用動(dòng)能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和機(jī)械能守恒定律簡捷．