Question

5．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個很靠近的同心圓軌道，外圓光滑，內(nèi)圓粗糙．一質(zhì)量為m的小球從軌道的最低點以初速度v₀向右運動，球的直徑略小于兩圓間距，球運動的軌道半徑為R，不計空氣阻力．設小球過最低點時重力勢能為零，下列說法正確的是（　　）

• A． 若小球運動到最高點時速度為0，則小球機械能一定不守恒
• B． 若經(jīng)過足夠長時間，小球最終的機械能可能為$\frac{3}{2}$mgR
• C． 若使小球始終做完整的圓周運動，則v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$
• D． 若小球第一次運動到最高點時速度大小為0，則v₀一定大于$\sqrt{4gR}$

Answer 1

分析 內(nèi)圓粗糙，小球與內(nèi)圓接觸時要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，機械能不守恒；外圓光滑，小球與外圓接觸時不受摩擦力作用，只有重力做功，機械能守恒，應用牛頓第二定律與機械能守恒定律分析答題．

解答 解：A、若小球運動到最高點時受到為0，則小球在運動過程中一定與內(nèi)圓接觸，受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，小球的機械能一定不守恒，故A正確；
B、若初速度v₀比較小，小球在運動過程中一定與內(nèi)圓接觸，機械能不斷減少，經(jīng)過足夠長時間，小球最終在圓心下方運動，最大的機械能為mgR，所以小球最終的機械能不可能為$\frac{3}{2}$mgR．若初速度v₀足夠大，小球始終沿外圓做完整的圓周運動，機械能守恒，機械能必定大于2mgR，故B錯誤．
C、若使小球始終做完整的圓周運動，小球應沿外圓運動，在運動過程中不受摩擦力，機械能守恒，小球恰好運動到最高點時速度設為v，則有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}$，小球在最低點時的最小速度v₀=$\sqrt{5gR}$，所以若使小球始終做完整的圓周運動，則v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$．故C正確．
D、如果內(nèi)圓光滑，小球在運動過程中不受摩擦力，小球在運動過程中機械能守恒，如果小球運動到最高點時速度為0，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R，小球在最低點時的速度v₀=$\sqrt{4gR}$，由于內(nèi)圓粗糙，小球在運動過程中要克服摩擦力做功，則小球在最低點時的速度v₀一定大于$\sqrt{4gR}$，故D正確．
故選：ACD．

點評 本題的關鍵是理清運動過程，抓住臨界狀態(tài)，明確最高點的臨界條件，運用機械能守恒定律和向心力知識結合進行研究．