Question

3．如圖所示，相互平行的光滑金屬導(dǎo)軌固定在傾角為θ=30°的絕緣斜面上，相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌下端連接一個(gè)定值電阻R₁，上端通過(guò)開(kāi)關(guān)S（S是閉合的）也連接一個(gè)定值電阻R₂，導(dǎo)體棒ab放在導(dǎo)軌上靠近下端的位置，與導(dǎo)軌垂直并良好接觸，在斜面上虛線MN以下的區(qū)域內(nèi)，存在著垂直穿過(guò)斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，現(xiàn)對(duì)ab棒施以平行導(dǎo)軌斜向上的恒定拉力F，使它沿導(dǎo)軌先向上加速運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)虛線MN之前，導(dǎo)體棒ab已經(jīng)開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體棒到達(dá)MN時(shí)，立即撤去拉力，導(dǎo)體棒向上運(yùn)動(dòng)一段后又向下滑動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后又做勻速運(yùn)動(dòng)．
已知R₁=R₂=R，導(dǎo)體棒ab的阻值為r=$\frac{R}{{2}^{+}}$，質(zhì)量為m，重力加速度為g，拉力做的功為w．導(dǎo)軌電阻不計(jì)．
（1）求拉力F的大小和導(dǎo)體棒ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度v；
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電阻R₁的發(fā)熱功率P₁多大？從導(dǎo)體棒ab開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到回到初始位置的過(guò)程中電阻R₁產(chǎn)生了多少熱量Q₁？
（3）若在導(dǎo)體棒ab再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，則導(dǎo)體棒ab將如何運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析 （1）由安培力公式求出安培力，應(yīng)用牛頓第二定律與平衡條件可以求出拉力大小與勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度．
（2）應(yīng)用功率公式與能量守恒定律求出功率與產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)電路電流與安培力的變化情況分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況．

解答 解：（1）對(duì)導(dǎo)體棒，由牛頓第二定律可得
F-F_A-mgsinθ=ma ①
其中，導(dǎo)體棒受到的安培力
F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$ ②
當(dāng)導(dǎo)體棒加速度a=0時(shí)開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，
由①②整理得：F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$-mgsinθ=0  ③
導(dǎo)體棒在MN上方運(yùn)動(dòng)時(shí)只受重力，機(jī)械能守恒，
因此當(dāng)導(dǎo)體棒再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度也為v，導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)，
由平衡條件得：mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=0  ④由④解得v=$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$ ⑤
由③④解得：F=mg  ⑥；
（2）由于R₁與R₂并聯(lián)后電阻值等于$\frac{R}{2}$，因此P_r=2P₁，
有：P₁=$\frac{1}{4}$P_總=$\frac{1}{4}$F_Av ⑦
由②⑤⑦聯(lián)立解得：P₁=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{L}^{2}}$ ⑧
從導(dǎo)體棒ab開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到回到初始位置，重力做功為0，
由能量守恒定律得：W-Q=$\frac{1}{2}$mv²-0 ⑨其中：Q₁=$\frac{1}{4}$Q ⑩
由⑤⑨⑩解得：Q₁=$\frac{1}{4}$（W-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$）．  
（3）當(dāng)開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)時(shí)，回路的電阻增大，通過(guò)導(dǎo)體棒ab的電流減小，
安培力減小，導(dǎo)體棒ab先加速，當(dāng)：mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{\frac{3R}{2}}$=0時(shí)，
導(dǎo)體棒ab開(kāi)始以v′=$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$的速度做勻速運(yùn)動(dòng)．
答：（1）拉力F的大小為mg，導(dǎo)體棒ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度v為$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電阻R₁的發(fā)熱功率P₁為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{L}^{2}}$，
從導(dǎo)體棒ab開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到回到初始位置的過(guò)程中電阻R₁產(chǎn)生了多少熱量Q₁為$\frac{1}{4}$（W-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$）．  
（3）若在導(dǎo)體棒ab再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，導(dǎo)體棒ab將先做加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)相結(jié)合的綜合題，分析清楚導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用安培力公式、牛頓第二定律、平衡條件、能量守恒定律可以解題．