Question

（2005?海門市模擬）如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點，求：
（1）推力對小球所做的功．
（2）x取何值時，使質(zhì)點完成BC段運動后落回水平面，水平恒力所做的功最少？最小功為多少？

Answer 1

分析：（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當(dāng)?shù)竭_B點撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運動到C處后，又正好落回A點．因小球離開C點后做平拋運動，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過程，由動能定理可求出推力對小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到達B點的速度越小，到達最高點C的速度越小，當(dāng)小球恰好到達C點時，由重力充當(dāng)向心力，此時C點的速度最小，力F做功最�。�先由牛頓第二定律求出小球通過C點的最小速度，根據(jù)（1）問的結(jié)果求出x，即可得到最小功；

解答：解：（1）質(zhì)點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點，設(shè)質(zhì)點在C點的速度為v_C，質(zhì)點從C點運動到A點所用的時間為t，在水平方向?x=v_Ct
豎直方向上2R=

1

2

gt²?，
解①②式有v_C=

x

2

g R

對質(zhì)點從A到C由動能定理有?W_F-mg?2R=

1

2

mv_C² 
解W_F=

mg(16R2+x2)

8R

 
（2）要使力F做功最少，確定x的取值，由W_F=2mgR+

1

2

mv_C²知，只要質(zhì)點在C點速度最小，則功W_F就最小，就是物理極值．
若質(zhì)點恰好能通過C點，其在C點最小速度為v，由牛頓第二定律有?
mg=

mv2

R

，則v=

Rg

當(dāng)x=vt=

Rg

×2

R g

=2R時，
W_F最小，最小的功W_F=

5

2

mgR．
答：（1）推力對小球所做的功為

mg(16R2+x2)

8R

．
（2）x取2R時，使質(zhì)點完成BC段運動后落回水平面，水平恒力所做的功最少，最小功為

5

2

mgR．

點評：本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過C點的最小速度為

gR

，由動能定理求解F做功，再運用數(shù)學(xué)不等式知識求解極值．