Question

如圖所示，在xoy平面上第一象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場，方向沿y軸正向．Y軸A點(diǎn)坐標(biāo)（0l），C點(diǎn)坐標(biāo)（0-l），x軸B點(diǎn)坐標(biāo)2l，0）．在直線y=-l下方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，電子甲以初速v₀從A點(diǎn)垂直y軸射入勻強(qiáng)電場中，從x軸上的B點(diǎn)離開電場．已知電子的電量-e，質(zhì)量m，不計(jì)電子的重力．
（1）求電子經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）若電子經(jīng)勻強(qiáng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰能返回B點(diǎn)，求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)B；
（3）若另一電子乙從電場中的D點(diǎn)（圖中未畫出）與甲同時(shí)射出，初速度大小也v₀，方向沿x軸負(fù)方向．已知電子乙射出后僅在電場作用下直接到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，與甲電子恰在B點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)的位置．

Answer 1

分析：（1）分析電子的運(yùn)動(dòng)情況：電子從A到B，受到豎直向下的電場力而做類平拋運(yùn)動(dòng)（或勻變速曲線運(yùn)動(dòng)）；水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．在B點(diǎn)電子的速度與x軸成45°角，則知電子經(jīng)過A點(diǎn)的速度．
（2）畫出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系確定半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）有兩種情況：
①甲經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后到達(dá)B點(diǎn)，乙也到達(dá)B點(diǎn)，由對稱性可知這種情況D點(diǎn)的位置坐標(biāo)；
②甲經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后再次到達(dá)B點(diǎn)，乙也到達(dá)B點(diǎn)，先求出甲運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后根據(jù)乙在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，求得乙的初始坐標(biāo)．

解答：解：（1）以電子甲為研究對象：2l=v₀t
又：l=

vy

2

t
解得：v_y=v₀，
所以：v=

v 2 y + v 2 0

=

2

v0
方向與x正方向成45°；
（2）電子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，半徑：R=

2

l

由洛倫茲力提供向心力：evB=

mv2

R

 解得：B=

mv0

el

；
（3）有兩種情況
①甲經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后到達(dá)B點(diǎn)，乙也到達(dá)B點(diǎn)，由對稱性可知這種情況D點(diǎn)的位置坐標(biāo)為：（4l，l）
②甲經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后再次到達(dá)B點(diǎn)，乙也到達(dá)B點(diǎn)，
在磁場以外區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t1=

2× 2 l

v

=

4l

v0

在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

3

4

個(gè)周期，即：t2=

3

4

T=

3

4

?

2πR

v

=

3

4

×

2π 2 l

2 v0

=

3πl(wèi)

2v0

因2l=v₀t，
所以：t總=t+t1+t2=3(

π

4

+1)t
D點(diǎn)的橫坐標(biāo)：x=

3πl(wèi)

2

+6l
縱坐標(biāo)：y=

1

2

eE

m

?t2
因?yàn)椋?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">l=

1

2

×

eE

m

(

2l

v0

)2
解得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)：y=9(

π

4

+1)2l
答：（1）電子經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為

2

v0，方向與x正方向成45°；
    （2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)B為

mv0

el

；
    （3）有兩種情況：
①甲經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后到達(dá)B點(diǎn)，乙也到達(dá)B點(diǎn)，由對稱性可知這種情況D點(diǎn)的位置坐標(biāo)為：（4l，l）
②甲經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后再次到達(dá)B點(diǎn)，乙也到達(dá)B點(diǎn)，這種情況D點(diǎn)的位置坐標(biāo)為：【（

3πl(wèi)

2

+6l），（9(

π

4

+1)2l）】．

點(diǎn)評(píng)：電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法是運(yùn)動(dòng)的分解，而磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的研究方法是畫軌跡，都是常用的思路，難度大．