Question

宇航員在一行星上以速度v₀豎直上拋一質(zhì)量為m的物體，不計空氣阻力，經(jīng)t秒后落回手中，已知該星球半徑為R．
（1）要使物體沿水平方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少是多大？
（2）要使物體沿豎直方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少是多大？已知取無窮遠處引力勢能為零時，物體距星球球心距離r時的引力勢能為：Ep=-G

mM

r

． （G為萬有引力常量）

Answer 1

分析：（1）物體沿水平方向拋出而不落回星球表面，需要達到第一宇宙速度，由豎直上拋可以求得星球表面重力加速度，進而可以求得第一宇宙速度
（2）物體沿豎直方向拋出而不落回星球表面，需要達到第二宇宙速度，即脫離地球的吸引，引力勢能全部轉(zhuǎn)化成動能，由機械能守恒加黃金代換可以得到結(jié)果．

解答：解：
（1）豎直上拋上下時間是相等的，故由物體的豎直上拋得：
v0=g

t

2

解得：
g=

2v0

t

若不落回地面，則物體的重力應(yīng)全部用來充當向心力，由此得：
mg=m

v 2

R

解得：
v=

gR

=

2v0R t

（2）要使物體沿豎直方向拋出而不落回星球表面，其速度應(yīng)達到第二宇宙速度，設(shè)為v₂，由題目提示知其在星球表面的引力勢能為：G

Mm

R2

，由機械能守恒：

1

2

mv22-G

Mm

R2

=0①
又由：
G

Mm

R2

=mg=

2mv0

t

解得：
GM=

2mv0R2

t

②
②帶入①式解得：
v2=2

v0R t

答：
（1）要使物體沿水平方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少是

2v0R t

（2）要使物體沿豎直方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少是2

v0R t

點評：重點是要弄清兩種拋法不落回星球表面的含義是什么意思，一個對應(yīng)的是要達到第一宇宙速度，一個對應(yīng)的是要達到第二宇宙速度．