Question

宇航員在一行星上以速度v₀豎直上拋一的物體，不計(jì)空氣阻力，經(jīng)t秒后落回手中，已知該星球半徑為R．
（1）求該行星的密度
（2）求該行星的第一宇宙速度．
（3）要使物體沿豎直方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少是多大？已知取無窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零時(shí)，物體距星球球心距離r時(shí)的引力勢(shì)能為：EP=-G

mM

r

．（G為萬有引力常量）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間關(guān)系公式列式求解重力加速度；然后根據(jù)重力等于萬有引力列式求解星球的質(zhì)量；最后根據(jù)密度的定義式求解該星球的密度；
（2）根據(jù)重力等于向心力列式求解；
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解．

解答：解：（1）豎直上拋運(yùn)動(dòng)的上升和下降時(shí)間是相等的，故：
v0=g

t

2

重力等于萬有引力，故：
G

Mm

R2

=mg
密度為：
ρ=

M

4 3 πR3

聯(lián)立解得：ρ=

3vo

2πGRt

；
（2）由題意得星球表面重力加速度為g=

2v0

t

；
沿水平方向拋出而不落回星球表面意味球的速度達(dá)到第一宇宙速度，萬有引力提供向心力，有：
mg=m

v 2 1

R

即v1=

Rg

=

2v0R t

（3）由表面重力加速度知?jiǎng)菽芄�式變�(yōu)?span id="qqp8tal" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Ep=-G

mM

r

=-

mgR2

r

=-

2mv0R2

rt

由機(jī)械能守恒得：

1

2

m

v

2 2

-

2mv0R2

Rt

=0
使物體沿豎直方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少為：v2=2

v0R t

答：（1）該行星的密度為

3vo

2πGRt

；
（2）該行星的第一宇宙速度為

2v0R t

；
（3）要使物體沿豎直方向拋出而不落回星球表面，沿星球表面拋出的速度至少是2

v0R t

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是先根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)得到重力加速度，然后根據(jù)重力等于萬有引力并提供向心力列式，不難．