Question

19．如圖所示，半徑均為R，質(zhì)量均為M，內(nèi)表面光滑的兩個(gè)完全相同的$\frac{1}{4}$圓槽A、B并排放在光滑的水平面上，圖中a、c分別為A、B槽的最高點(diǎn)，b、b′分別為A、B槽的最低點(diǎn)，A槽的左端緊靠著墻壁，一個(gè)質(zhì)量為m的小球C從圓槽的頂端的a點(diǎn)無初速度釋放，求：
（1）小球C從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)時(shí)的速度及A槽對(duì)地面的壓力．
（2）小球C在B槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)所能到達(dá)最大高度．
（3）B的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）C下滑過程機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律可以求出到達(dá)b點(diǎn)的速度，由牛頓第二定律求出槽對(duì)C的支持力，然后求出槽對(duì)地面的壓力．
（2）B、C組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出C能達(dá)到的最大高度．
（3）當(dāng)B、C分離時(shí)，B的速度最大，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出B的最大速度．

解答 解：（1）C下滑過程機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{2gR}$，
在b點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：F=3mg，由牛頓第三定律可知，C對(duì)A的壓力：F′=F=3mg，
A靜止，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，A槽對(duì)地面的壓力：N=F′+Mg=3mg+Mg；
（2）B、C組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：mv=（M+m）v′，
由機(jī)械能守恒定律的：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$（M+m）v′²+mgh，
解得：h=$\frac{MR}{M+m}$；
（3）B、C組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以向右為正方向，
B、C分離時(shí)，由動(dòng)量守恒定律得：mv=-mv″+MV，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv″²+$\frac{1}{2}$MV²，
解得：V=$\frac{Mm\sqrt{2gR}+\sqrt{mgR（{m}^{3}-{M}^{3}+M{m}^{2}）}}{m（M-m）}$；
答：（1）小球C從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{2gR}$，A槽對(duì)地面的壓力為3mg+Mg．
（2）小球C在B槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)所能到達(dá)最大高度為$\frac{MR}{M+m}$．
（3）B的最大速度是$\frac{Mm\sqrt{2gR}+\sqrt{mgR（{m}^{3}-{M}^{3}+M{m}^{2}）}}{m（M-m）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與 機(jī)械能守恒定律即可解題，要注意：B、C組成的系統(tǒng)整體動(dòng)量不守恒，但水平方向動(dòng)量守恒．