Question

17．小型登月器連接在航天站上，一起繞月球做圓周運動，其軌道半徑為月球半徑的5倍，某時刻，航天站使登月器減速分離，登月器沿如圖所示的橢圓軌道登月，在月球表面逗留一段時間完成科考工作后，經(jīng)快速啟動仍沿原橢圓軌道返回，當(dāng)?shù)谝淮位氐椒蛛x點時恰與航天站對接，整個過程中航天站保持原軌道繞月運行（登月器減速登月及快速啟動過程的時間可以忽略不計）．已知月球表面的重力加速度為g，月球半徑為R，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則登月器可以在月球上停留的最短時間約為（　　）

• A． 10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
• B． 6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$-4$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• D． 6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$-2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 對登月器和航天站依據(jù)開普勒第三定律列出等式，為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點與航天站實現(xiàn)對接，根據(jù)周期關(guān)系列出等式求解．

解答 解：設(shè)登月器和航天站在軌道半徑為5R的軌道上運行時的周期為T，因其繞月球作圓周運動，根據(jù)萬有引力等于向心力，得
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，且 r=5R
解之得 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=10π$\sqrt{\frac{5{R}^{3}}{GM}}$
在月球表面上，物體所受重力近似等于萬有引力，有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
則得 GM=gR²
所以 T=10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$
設(shè)登月器在小橢圓軌道運行的周期是T₁．對登月器和航天站依據(jù)開普勒第三定律分別有
    $\frac{{T}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{（5R）^{3}}{（3R）^{3}}$ 
解得 T₁=6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
所以登月器可以在月球上停留的最短時間約為 t=T-T₁=10π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$-6π$\sqrt{\frac{3R}{g}}$
故選：A

點評 該題考查萬有引力定律的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握萬有引力提供向心力公式及開普勒第三定律的公式，求出登月器和航天站的運行周期．