Question

【題目】已知地球半徑為R ， 引力常量為G ， 地球表面的重力加速度為g。不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。
（1）推導(dǎo)第一宇宙速度v的表達式；
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h ， 飛行n圈，所用時間為t ， 求地球的平均密度。

Answer 1

【答案】
（1）

設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，由于不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，當衛(wèi)星在地球表面時受到的萬有引力近似等于重力，即

在地球表面附近的運行衛(wèi)星，其軌道半徑近似等于地球半徑，萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：

以上兩式聯(lián)立解得：第一宇宙速度v的表達式為

（2）

設(shè)衛(wèi)星圓軌道上運行周期為T，由題意得

衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力定律和牛頓第二定律得

，解得地球的質(zhì)量為：

又地球體積 ，所以地球的平均密度

【解析】解:（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m ， 地球的質(zhì)量為M ， 由于不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，當衛(wèi)星在地球表面時受到的萬有引力近似等于重力，即
在地球表面附近的運行衛(wèi)星，其軌道半徑近似等于地球半徑，萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：
以上兩式聯(lián)立解得：第一宇宙速度v的表達式為 （2）設(shè)衛(wèi)星圓軌道上運行周期為T，由題意得
衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力定律和牛頓第二定律得
，解得地球的質(zhì)量為：
又地球體積 ，所以地球的平均密度 。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解萬有引力定律及其應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握應(yīng)用萬有引力定律分析天體的運動：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供.即 F引=F向；應(yīng)用時可根據(jù)實際情況選用適當?shù)墓�式進行分析或計算.②天體質(zhì)量M、密度ρ的估算．