Question

1．微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性．對(duì)于氫原子模型，因?yàn)樵�子核的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，可以忽略原子核的運(yùn)動(dòng)，形成類似天文學(xué)中的恒星-行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ．另一種模型認(rèn)為氫原子的核外電子并非繞核旋轉(zhuǎn)，而是類似天文學(xué)中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時(shí)繞彼此連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，記為模型Ⅱ．已知核外電子的質(zhì)量為m，氫原子核的質(zhì)量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e．
（1）模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動(dòng)能分別用E_kⅠ、E_kⅡ表示，請(qǐng)通過定量計(jì)算來比較E_kⅠ、E_kⅡ的大小關(guān)系；
（2）求模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T_Ⅰ和T_Ⅱ；
（3）通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請(qǐng)分析這樣簡化處理的合理性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫侖定律與牛頓第二定律，結(jié)合動(dòng)能表達(dá)式，即可求解；
（2）根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律，及向心力表達(dá)式，即可求解；
（3）依據(jù)兩個(gè)周期之比，結(jié)合兩質(zhì)量大小關(guān)系，即可求解．

解答 解：（1）模型Ⅰ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v對(duì)于電子繞核的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：
$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：E_kI=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2r}$
模型Ⅱ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v₁、v₂，電子的運(yùn)動(dòng)半徑為r₁，原子核的運(yùn)動(dòng)半徑為r₂．根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律
對(duì)電子有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{k{e}^{2}}{2{r}^{2}}{r}_{1}$
對(duì)于原子核有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{M{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：${E}_{k2}=\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2{r}^{2}}{r}_{2}$
系統(tǒng)的總動(dòng)能：E_kⅡ=E_k1+E_k2=$\frac{k{e}^{2}}{2r}（{r}_{1}+{r}_{2}）$=$\frac{k{e}^{2}}{2r}$
即在這兩種模型中，系統(tǒng)的總動(dòng)能相等．
（2）模型Ⅰ中，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：
$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{I}^{2}}$
解得：T_I=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$
模型Ⅱ中，電子和原子核的周期相同，均為T_Ⅱ
根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律
對(duì)電子有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{II}^{2}}{r}_{1}$，
解得：r₁=$\frac{k{e}^{2}{T}_{II}^{2}}{4{π}^{2}{r}^{2}m}$
對(duì)原子核有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}_{II}^{2}}{r}_{2}$，
解得：r₂=$\frac{k{e}^{2}{T}_{II}^{2}}{4{π}^{2}{r}^{2}M}$
因r₁+r₂=r，將以上兩式代入，可解得：T_II=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}mM{r}^{3}}{k{e}^{2}（M+m）}}$
（3）所以有，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{II}}$=$\sqrt{\frac{M+m}{M}}$  
因?yàn)镸＞＞m，可得T_Ⅰ≈T_Ⅱ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便．
答：（1）E_kⅠ、的大小為$\frac{k{e}^{2}}{2r}$，E_kⅡ的大小$\frac{k{e}^{2}}{2r}$，兩種模型中，系統(tǒng)的總動(dòng)能相等；
（2）模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期$\sqrt{\frac{4{π}^{2}m{r}^{3}}{k{e}^{2}}}$和$\sqrt{\frac{4{π}^{2}mM{r}^{3}}{k{e}^{2}（M+m）}}$；
（3）因?yàn)镸＞＞m，可得T_Ⅰ≈T_Ⅱ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便．

點(diǎn)評(píng) 考查庫侖定律和牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握向心力與動(dòng)能表達(dá)式，理解庫侖引力提供向心力的內(nèi)容，注意符號(hào)運(yùn)算是解題的難點(diǎn)．