Question

（30分）如圖所示，水平放置的金屬細(xì)圓環(huán)半徑為a，豎直放置的金屬細(xì)圓柱（其半徑比a小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內(nèi)，圓柱的細(xì)軸通過(guò)圓環(huán)的中心O．一質(zhì)量為m，電阻為R的均勻?qū)�體細(xì)棒被圓環(huán)和細(xì)圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細(xì)軸O上，另一端A可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運(yùn)動(dòng)，棒與圓環(huán)的摩擦系數(shù)為m．圓環(huán)處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為、方向豎直向上的恒定磁場(chǎng)中，式中K為大于零的常量，r為場(chǎng)點(diǎn)到軸線的距離．金屬細(xì)圓柱與圓環(huán)用導(dǎo)線ed連接．不計(jì)棒與軸及與細(xì)圓柱端面的摩擦，也不計(jì)細(xì)圓柱、圓環(huán)及導(dǎo)線的電阻和感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)．問(wèn)沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度w 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．

 注：

Answer 1

解析：

將整個(gè)導(dǎo)體棒分割成個(gè)小線元，小線元端點(diǎn)到軸線的距離分別為r₀(=0)，r₁，r₂，……，r_i-1，r_i，……，r_n-1，r_n(= a)，第i個(gè)線元的長(zhǎng)度為，當(dāng)很小時(shí)，可以認(rèn)為該線元上各點(diǎn)的速度都為，該線元因切割磁感應(yīng)線而產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為

    (1)

整個(gè)棒上的電動(dòng)勢(shì)為

    (2)

由    ，

略去高階小量(Δr)²及(Δr)³，可得

代入(2)式，得

 (3)

由全電路歐姆定律，導(dǎo)體棒通過(guò)的電流為

    (4)

導(dǎo)體棒受到的安培力方向與棒的運(yùn)動(dòng)方向相反．

第i個(gè)線元受到的安培力為

    (5)

作用于該線元的安培力對(duì)軸線的力矩

作用于棒上各線元的安培力對(duì)軸線的總力矩為

   

即    （6）

因棒A端對(duì)導(dǎo)體圓環(huán)的正壓力為mg，所以摩擦力為，對(duì)軸的摩擦力矩為

    (7)

其方向與安培力矩相同，均為阻力矩．為使棒在水平面內(nèi)作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng),要求棒對(duì)于O軸所受的合力矩為零，即外力矩與阻力矩相等，設(shè)在A點(diǎn)施加垂直于棒的外力為f，則有

      （8）

由(6)、(7)、（8）式得

    (9)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題30分．

求得（3）式得10分，（4）式2分；求得（6）式得8分，（7）式4分，（8）式4分，（9）式2分．