Question

5．如圖所示，在坐標系xOy內有一半徑為d的圓形區(qū)域，圓心坐標為O₁（0，a），圓內分布有垂直紙面向里的勻強磁場．在M、N之間的矩形區(qū)域（即x=2a，x=3a和y=0，y=2a所圍成的區(qū)域）內有一沿+x方向的勻強電場．一質量為m、電荷量為-q（q＞0）的粒子以速度v₀從O點垂直于磁場沿+y軸方向射入，粒子恰好從A點射出磁場，A、O₁兩點的連線與x軸平行．（不計粒子重力）
（1）求磁感應強度B的大��；
（2）為使粒子不從電場的右側射出，則在M、N上加的電壓至少應該多大？
（3）在（2）中若B和E保持不變，試證明：在xOy平面內，不論粒子以速率v從O點沿什么方向射入磁場，粒子在電場和磁場中運動的總時間是一個定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關系求出粒子在磁場中勻速圓周運動的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力即可求出磁感應強度；
（2）根據(jù)動能定理求出MN間所加的電壓；
（3）畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)求出粒子在電場和磁場中的時間，再求總時間；

解答  解：（1）由于粒子在磁場中運動的半徑為a，由圓周運動向心力知：$qvB=m\frac{{v}_{0}^{2}}{a}$
得出：$B=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qa}$
（2）根據(jù)動能定理知：$-qU=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得出：$U=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（3）證明：設帶電粒子在進入磁場時，速度方向與x軸成θ角．由于帶電粒子在磁場中運動的軌跡圓的半徑與磁場區(qū)域的半徑相同，因此$O{O}_{1}^{\;}{O}_{2}^{\;}E$四點連線形成一個菱形，${O}_{2}^{\;}E$的連線與y軸平行，故帶電粒子在出磁場區(qū)域時速度方向與x軸平行．
帶電粒子在磁場中運動的時間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{θm}{Bq}$
帶電粒子在進入電場時與電場的方向平行，因此在電場中運動的時間為
${t}_{2}^{\;}=2\frac{m{v}_{0}^{\;}}{Eq}$
粒子從電場返回之后，再次在出磁場的位置進入磁場，方向沿x軸負向．同理可知，${O}_{1}^{\;}{O}_{2}^{\;}EF$為菱形．帶電粒子在磁場中運動的時間為${t}_{3}^{\;}=\frac{αm}{Bq}$
根據(jù)幾何關系可知θ+α=π
所以帶電粒子在電場和磁場中運動的總時間為$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$
代入得$t=\frac{πm}{Bq}+2\frac{m{v}_{0}^{\;}}{Eq}$
與帶電粒子射入磁場的方向無關，是一個定值．
答：（1）磁感應強度B的大小$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（2）為使粒子不從電場的右側射出，則在M、N上加的電壓至少為$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{2q}$
（3）證明見上

點評 解決此類問題的關鍵是靈活運用幾何知識，在圖象中作出粒子運動的軌跡，根據(jù)幾何關系抓住粒子做圓周運動時洛倫茲力提供向心力展開討論即可，本題很好的體現(xiàn)了運用數(shù)學知識解決物理問題的能力．