Question

16．如圖所示，輕質(zhì)彈簧兩端與質(zhì)量分別為m₁=1kg、m₂=2kg的物塊P、Q連在一起，將P、Q放在光滑的水平面上，靠墻、彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)P靜止在A點(diǎn)，用水平力F推P使彈簧壓縮一段距離后靜止，此過(guò)程中F做功4.5J，則撤去F后，求：
（1）P在運(yùn)動(dòng)中的最大速度；
（2）Q運(yùn)動(dòng)后彈簧彈性勢(shì)能的最大值；
（3）Q在運(yùn)動(dòng)中的最大速度；
（4）P通過(guò)A點(diǎn)后速度最小時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）用水平力F推P使彈簧壓縮的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能增加，當(dāng)撤去F后，彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為P的動(dòng)能，彈簧剛恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，P的速度最大，由能量守恒定律求解．
（2）Q離開(kāi)墻壁后，彈簧伸長(zhǎng)，Q加速，P減速，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量最大，彈性勢(shì)能最大．根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒結(jié)合求解．
（3）當(dāng)Q離開(kāi)墻壁后彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，Q的速度最大．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒結(jié)合求解．
（4）根據(jù)當(dāng)Q離開(kāi)墻壁后彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)P的速度，分析P速度的最小值，再由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒結(jié)合求解．

解答 解：（1）當(dāng)Q剛離墻壁時(shí)，P的速度最大．設(shè)為v_m．根據(jù)功能關(guān)系得：
    $\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{m}^{2}$=W_F；
可得 v_m=$\sqrt{\frac{2{W}_{F}}{{m}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{2×4.5}{1}}$=3m/s
（2）Q離開(kāi)墻壁后，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量最大，彈性勢(shì)能最大．取向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：
  m₁v_m=（m₁+m₂）v；
  $\frac{1}{2}$m₁v_m²=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²+E_p；
聯(lián)立解得：P、Q的共同速度 v=1m/s．彈簧彈性勢(shì)能的最大值 E_p=3J；
（3）當(dāng)Q離開(kāi)墻壁后彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，Q的速度最大．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒得：
     m₁v_m=m₁v₁+m₂v₂，
由機(jī)械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$m₁v_m²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²；
聯(lián)立解得：Q在運(yùn)動(dòng)中的最大速度 v₂=4m/s，此時(shí)P的速度 v₁=-1m/s，負(fù)號(hào)表示方向向右．
（4）Q剛離開(kāi)墻壁時(shí)P的速度為v_m=3m/s，方向向左．Q離開(kāi)墻壁后彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，P的速度為v₁=-1m/s，方向向右，所以P的速度最小為0．
設(shè)此時(shí)Q的速度為v₃．彈簧的彈性勢(shì)能為 E_p′．
根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：
   m₁v_m=m₂v₃；
  $\frac{1}{2}$m₁v_m²=$\frac{1}{2}$m₂v₃²+E_p′；
聯(lián)立解得 E_p′=2.25J
答：
（1）P在運(yùn)動(dòng)中的最大速度是3m/s；
（2）Q運(yùn)動(dòng)后彈簧彈性勢(shì)能的最大值是3J；
（3）Q在運(yùn)動(dòng)中的最大速度是4m/s；
（4）P通過(guò)A點(diǎn)后速度最小時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能是2.25J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題首先要明確研究的過(guò)程，其次把握信隱含的條件：彈簧伸長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)兩木塊的速度相同．知道Q離開(kāi)墻壁后系統(tǒng)遵守兩大守恒：動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，要注意選取正方向．