Question

20．如圖所示，水平桌面A上直線MN將桌面分成兩部分，左側(cè)桌面光滑，右側(cè)桌面粗糙．在A上放長L=0.1m的均勻方木板，木板左端剛好與MN對齊，通過細繩繞過光滑的定滑輪與正上方的一水平圓盤B上的小球（可看成質(zhì)點）相連，小球質(zhì)量與木板質(zhì)量相等，小球套在沿圓盤半徑方向的光滑細桿上，細桿固定在圓盤上，細線剛好繃直．木板右端與一勁度系數(shù)k=40N/m的輕彈簧相連，輕彈簧另一端固定在擋板上．現(xiàn)用力F沿桿方向拉動小球，通過細線使木板緩慢向左運動，當(dāng)木板剛好離開粗糙面時，拉力做功W=0.3J．
（1）上述過程中，因摩擦而產(chǎn)生的熱量是多少？
（2）寫出上述過程中F隨小球運動位移x的關(guān)系式，并畫出F-x圖象．
（3）若將“力F拉小球”改為“使B繞軸OO′轉(zhuǎn)動”，仍實現(xiàn)上述過程，則桿對小球至少需要做多少功？已知開始時小球離圓盤中心的距離r=0.1m．

Answer 1

分析 （1）木板離開粗糙面過程中，彈簧的壓縮量和伸長量剛好相等，彈性勢能不變．根據(jù)功能關(guān)系求熱量．
（2）根據(jù)功能關(guān)系列式熱量與摩擦力的關(guān)系式，分析木板的受力，由由平衡條件求解．
（3）對于小球，根據(jù)向心力公式得出其速度，由功能關(guān)系得到桿對小球做功．

解答 解：（1）木板離開粗糙面過程中，彈簧的壓縮量和伸長量剛好相等，彈性勢能不變．
摩擦產(chǎn)生的熱量 Q=W=0.3J   
（2）木板克服摩擦力做功為 $μmg\frac{1}{2}L=Q$ 得 μmg=6（N）
B盤中小球受力  F=T
桌面上木板受力  $T=μmg\frac{L-x}{L}-k（\frac{1}{2}L-x）$，0≤x≤L
代入數(shù)據(jù)得  F=4-20x（N），0≤x≤0.1m

圖象如右圖所示 
（3）木板剛好離開粗糙面時，繩子拉力T=2N，小球圓周運動的半徑R=r+L
設(shè)此時小球隨圓盤轉(zhuǎn)動的線速度為v，
小球受力  $T=m\frac{v^2}{R}$
小球此時的動能為  ${E_k}=\frac{1}{2}m{v^2}$
由功能關(guān)系得：桿對小球做功    W=Q+E_k
代入數(shù)據(jù)解得   W=0.5J   
答：
（1）因摩擦而產(chǎn)生的熱量是0.3J．
（2）上述過程中F隨小球運動位移x的關(guān)系式為 F=4-20x（N），0≤x≤0.1m，畫出F-x圖象如圖．
（3）桿對小球至少需要做功是0.5J．

點評 解決本題的關(guān)鍵要正確分析兩個物體的受力情況，判斷能量轉(zhuǎn)化情況，要注意木塊所受的摩擦力隨位移作線性變化，其平均值等于算術(shù)平均值．