Question

10．伽利略在研究運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系時(shí)，曾經(jīng)考慮了一個(gè)無摩擦的理想實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在A點(diǎn)處懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉至B點(diǎn)處放手，擺球?qū)�擺到與B等高的C處；假若在A點(diǎn)正下方的E處釘一釘子，擺球的運(yùn)動(dòng)路徑會(huì)發(fā)生改變，但仍能升到與開始等高的D處．如果圖中的擺線長為l，初始時(shí)刻擺線與豎直線之間的夾角為60°，重力加速度為g．求：
（1）擺球擺到最低點(diǎn)O時(shí)速度的大小；
（2）將E處的釘子下移，當(dāng)釘子與A的距離至少多大時(shí)，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析 （1）通過擺球運(yùn)動(dòng)過程機(jī)械能守恒求解；
（2）先由牛頓第二定律求得圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒通過O點(diǎn)速度求解圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，即可求得距離．

解答 解：（1）擺球運(yùn)動(dòng)過程無摩擦，故只有重力做功，那么機(jī)械能守恒；設(shè)小球的質(zhì)量為m，則有：mgl（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v^2}$；
解得：v=$\sqrt{gl}$；
（2）設(shè)小球恰能通過最高點(diǎn)時(shí)，其軌道半徑為R，在最高點(diǎn)處由牛頓第二定律得：mg=$\frac{{m{v_1}^2}}{R}$；
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)由動(dòng)能定理得：$-mg2R=\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}m{v^2}$=$\frac{1}{2}mgR-\frac{1}{2}mgl$；
解得：R=$\frac{l}{5}$；
所以有：$AE=l-\frac{l}{5}=\frac{4l}{5}$；
答：（1）擺球擺到最低點(diǎn)O時(shí)速度的大小為$\sqrt{gl}$；
（2）將E處的釘子下移，當(dāng)釘子與A的距離至少為$\frac{4l}{5}$時(shí)，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．