Question

13．如圖所示．傾角為θ=30°的足夠長斜面固定在水平地面上，質(zhì)量均為m的矩形木塊A和B并排輕輕放到斜面上，A和B一起沿斜面下滑且在整個運(yùn)動過程中．始終不脫離斜面．已知A和B的接觸面粗糙．它們與斜面間的動摩擦因數(shù)分別為μ₁=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$、μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，重力加速度為g．
 （1）給AB-個沿斜面向下的初速度v₀，求AB滑行的最大距離和下滑過程中B對A的彈力大小；
 （2）對B施加一個恒力使B沿斜面向上運(yùn)動．求所加的最小恒力．

Answer 1

分析 （1）對AB整體受力分析，由牛頓第二定律求得AB整體的加速度，由運(yùn)動學(xué)規(guī)律求得AB滑行的最大距離，隔離A求得AB間的彈力大��；
（2）建立直角坐標(biāo)，根據(jù)平衡條件求解所加恒力F的最小值．

解答 解：（1）設(shè)AB一起下滑的加速度為a，AB間的彈力大小為F_彈，對AB應(yīng)用牛頓第二定律有
2mgsinθ-μ₁mgcosθ-μ₂mgcosθ=2ma
解得：a=$-\frac{1}{24}g$
負(fù)號表示加速度方向沿斜面向上；
對A由牛頓第二定律有mgsinθ-μ₁mgcosθ-F_彈=ma
應(yīng)用速度位移關(guān)系式可知AB向下滑行的最大距離為
x=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{0-{v}_{0}^{2}}{2×（-\frac{g}{24}）}$=$\frac{12{v}_{0}^{2}}{g}$
解得F_彈═mgsinθ-μ₁mgcosθ-ma=$\frac{1}{2}$mg$-\frac{2\sqrt{3}}{9}mg•\frac{\sqrt{3}}{2}-m（-\frac{g}{24}）$=$\frac{5mg}{24}$
（2）設(shè)恒力F斜向上、與斜面成夾角α最小時AB沿斜面向上勻速運(yùn)動對AB有
Fcosα-2mgsinθ-μ₁mgcosθ-μ₂（mgcosθ-Fsinα）=0
整理為F（$cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$）=$\frac{25}{12}$mg
由數(shù)學(xué)知識可知$cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$的最大值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$
解得F最小值為F=$\frac{25\sqrt{7}}{42}$mg
答：
（1）給AB-個沿斜面向下的初速度v₀，AB滑行的最大距離為$\frac{12{v}_{0}^{2}}{g}$和下滑過程中B對A的彈力大小為$\frac{5mg}{24}$；
（2）對B施加一個恒力使B沿斜面向上運(yùn)動．所加的最小恒力為$\frac{25\sqrt{7}}{42}$mg．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解，掌握整體法和隔離法的運(yùn)用．