Question

8．一臺質譜儀的工作原理如圖所示．大量的甲、乙兩種離子飄入電壓力為U₀的加速電場，其初速度幾乎為0，經過加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，最后打到照相底片上．已知甲、乙兩種離子的電荷量均為+q，質量分別為2m和m，圖中虛線為經過狹縫左、右邊界M、N的甲種離子的運動軌跡．不考慮離子間的相互作用．
（1）求甲種離子打在底片上的位置到N點的最小距離x；
（2）在答題卡的圖中用斜線標出磁場中甲種離子經過的區(qū)域，并求該區(qū)域最窄處的寬度d；
（3）若考慮加速電壓有波動，在（U₀-△U）到（U₀+△U）之間變化，要使甲、乙兩種離子在底片上沒有重疊，求狹縫寬度L滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）從M進入磁場的粒子打在底片上的位置到N點距離最小，由動能定理求出粒子進入磁場的速度，根據洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑，由幾何關系即可求解甲種離子打在底片上的位置到N點的最小距離x；
（2）就是將一個虛線半圓平移到另一個虛線半圓，最窄處位于過兩虛線交點的垂線上，把兩個虛線圓心找到，并連接兩圓的最高點，兩個圓的最高點的距離為L，根據幾何關系求解，
（3）從M點射進磁場的最慢甲種離子到底片的距離比從N點射入得最快的乙種到達底片的距離要大L，兩軌跡的直徑相差為L，列式即可求解；

解答 解：（1）設甲種離子在磁場中的運動半徑為r₁
電場加速$q{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}×2m{v}_{\;}^{2}$  且$qvB=2m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$  
解得${r}_{1}^{\;}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}$
根據幾何關系x=2r1-L  
解得$x=\frac{4}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}-L$
（2）（見圖） 最窄處位于過兩虛線交點的垂線上
$d={r}_{1}^{\;}-\sqrt{{r}_{1}^{2}-（\frac{L}{2}）_{\;}^{2}}$
解得 $d=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}-\sqrt{\frac{4m{U}_{0}^{\;}}{q{B}_{\;}^{2}}-\frac{{L}_{\;}^{2}}{4}}$

（3）設乙種離子在磁場中的運動半徑為${r}_{2}^{\;}$
${r}_{1}^{\;}$的最小半徑
${r}_{1min}^{\;}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{m（{U}_{0}^{\;}-△U）}{q}}$
${r}_{2}^{\;}$ 的最大半徑${r}_{2max}^{\;}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m（{U}_{0}^{\;}+△U）}{q}}$
由題意知 $2{r}_{1min}^{\;}-2{r}_{2max}^{\;}＞L$，即$\frac{4}{B}\sqrt{\frac{m（{U}_{0}^{\;}-△U）}{q}}$-$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m（{U}_{0}^{\;}+△U）}{q}}$＞L
解得L＜$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{m}{q}}$[2$\sqrt{（{U}_{0}^{\;}-△U）}$-$\sqrt{2（{U}_{0}^{\;}+△U）}$]
答：（1）甲種離子打在底片上的位置到N點的最小距離x為$\frac{4}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}-L$；
（2）在答題卡的圖中用斜線標出磁場中甲種離子經過的區(qū)域如上圖所示，該區(qū)域最窄處的寬度d為$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}-\sqrt{\frac{4m{U}_{0}^{\;}}{q{B}_{\;}^{2}}-\frac{{L}_{\;}^{2}}{4}}$；
（3）若考慮加速電壓有波動，在（U₀-△U）到（U₀+△U）之間變化，要使甲、乙兩種離子在底片上沒有重疊，狹縫寬度L滿足的條件L＜$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{m}{q}}$[2$\sqrt{（{U}_{0}^{\;}-△U）}$-$\sqrt{2（{U}_{0}^{\;}+△U）}$]

點評 考查動能定理與牛頓第二定律的應用，確定運動半徑與電壓的關系，這是解題的關鍵之處，同時注意理解：甲、乙兩種離子打在照相底片上的區(qū)域不重疊的含義．