Question

【題目】如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道AB豎直固定在一水平光滑的桌面上，軌道最低點(diǎn)B與桌面相切并平滑連接，桌面距水平地面的高度也為R。在桌面上輕質(zhì)彈簧被a、b兩個(gè)小球擠壓（小球與彈簧不拴接），處于靜止?fàn)顟B(tài)。已知a球的質(zhì)量為m0，a、b兩球質(zhì)量比為2∶3。固定小球b，釋放小球a，a球與彈簧分離后經(jīng)過B點(diǎn)滑上半圓環(huán)軌道并恰能通過軌道最高點(diǎn)A。現(xiàn)保持彈簧形變量不變同時(shí)釋放a、b兩球，重力加速度取g，求：

（1）釋放小球前彈簧具有的彈性勢(shì)能Ep；

（2）b球落地點(diǎn)距桌子右端C點(diǎn)的水平距離；

（3）a球在半圓軌道上上升的最大高度H。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）由豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的條件求出a經(jīng)過最高點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒即可求出彈簧的彈性勢(shì)能；（2）由動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒求出a與b的速度，由平拋運(yùn)動(dòng)即可求出b球落地點(diǎn)距桌子右端C點(diǎn)的水平距離；（3）由機(jī)械能守恒即可求出a球在半圓軌道上上升的最大高度H．

（1）設(shè)a、b兩球的質(zhì)量為，由已知得

a球在B點(diǎn)時(shí)的速度為，恰能通過半圓環(huán)軌道最高點(diǎn)A時(shí)的速度為，則有：①

輕彈簧具有的彈性勢(shì)能釋放時(shí)全部轉(zhuǎn)化成小球a的機(jī)械能

a球從釋放到運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)過程中機(jī)械能守恒，則有②

（2）以a、b、彈簧為研究對(duì)象，彈開時(shí)系統(tǒng)動(dòng)量守恒、能量守恒，a、b的速度分別為

則有：③， ④.又 ⑤

由③④⑤解得 ，

b球離開桌面后平拋，則有：⑥ ⑦

帶入解得：

（3）設(shè)a球上升至最大高度時(shí)速度為0，則有：

解得：，可見a球會(huì)在某處脫離半圓軌道

設(shè)脫離時(shí)a球速度為v，脫離位置半徑與豎直方向的夾角為α，如圖所示

根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式有 ：⑧

根據(jù)幾何關(guān)系有：⑨

根據(jù)機(jī)械能守恒有 ：⑩

解得：