Question

2．如圖所示一對平行的金屬導軌（電量不計）固定在同一水平面內，導軌足夠長且間距為L=1m，左端接有阻值為R=5Ω的電阻，一質量為m=1kg，電阻為r=1Ω，長為L的金屬棒MN放置在導軌上，金屬棒與導軌間動摩擦因數(shù)為μ=0.2，整個裝置處在豎直向上的勻強磁場中，磁場的磁感應強度為B=1T，金屬棒在水平向右的外力作用下，由靜止開始加速運動，保持外力的功率P=15W不變，經(jīng)時間t=3s金屬棒最終勻速運動，此過程通過電阻R的電量q=1.5C，（g=10m/s²）求：
（1）金屬棒勻速運動時的速度是多少．
（2）t時間內電阻R產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

Answer 1

分析 （1）金屬棒在功率不變的牽引力F作用下，先做變加速運動，后做勻速運動，速度穩(wěn)定，由法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力公式推導出安培力與速度的關系式，再由平衡條件求解速度；
（2）根據(jù)通過電阻R的電量q=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$，求出棒MN通過的距離s．t時間內，外力F做功為Pt，外力F和安培力對金屬棒做功，根據(jù)能量守恒定律求解焦耳熱．

解答 解：（1）金屬棒勻速運動時產(chǎn)生的感應電動勢為 E=BLv
感應電流 I=$\frac{E}{R+r}$
金屬棒所受的安培力 F_安=BIL
聯(lián)立以上三式得：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
棒MN達到的穩(wěn)定速度時，做勻速運動，則根據(jù)平衡條件得：F=F_安+μmg
又外力的功率 P=Fv
聯(lián)立上面幾式可得：$\frac{P}{v}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$+μmg
代入得：$\frac{15}{v}$=$\frac{{1}^{2}×{1}^{2}×v}{5+1}$+0.2×1×10
解得 v≈5.2m/s．
（2）設棒MN從靜止開始到穩(wěn)定速度通過的距離為s．
通過電阻R的電量 q=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$，得：s=$\frac{q（R+r）}{BL}$=$\frac{1.5×6}{1×1}$m=9m
根據(jù)動能定理：W_F+W_安-μmgs=$\frac{1}{2}$mv²
其中 W_F=Pt，Q=-W_安
可得：Pt-Q-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入解得 Q=13.48J
電阻R產(chǎn)生的焦耳熱是 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{5}{6}$×13.48J≈11.2J
答：
（1）金屬棒勻速運動時的速度是5.2m/s．
（2）棒電阻R產(chǎn)生的焦耳熱是11.2J．

點評 金屬棒在運動過程中克服安培力做功，把金屬棒的一部分動能轉化為焦耳熱，在此過程中金屬棒做加速度減小的減速運動；對棒進行受力分析、熟練應用法拉第電磁感應定律、歐姆定律、動能定理等，就能正確解題．