Question

19．如圖（甲）所示，在直角坐標(biāo)系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)有一個(gè)以點(diǎn)（3L，0）為圓心、半徑為L(zhǎng)的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與x軸的交點(diǎn)分別為M、N．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后從M點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域，速度方向與x軸夾角為30°．此時(shí)在圓形區(qū)域加如圖（乙）所示周期性變化的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)從t=0時(shí)刻開(kāi)始變化，且以垂直于紙面向外為磁場(chǎng)正方向），最后電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從N點(diǎn)飛出，速度方向與x軸夾角也為30°．求：

（1）電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小（請(qǐng)作出電子飛行的軌跡圖）；
（2）0≤x≤L區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大�。�
（3）寫(xiě)出圓形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小、磁場(chǎng)變化周期T各應(yīng)滿足的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）電子在電場(chǎng)中作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)電子的速度方向與x軸夾角30°，$\frac{{v}_{0}}{v}$=cos30°，可求得電子進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)的速度v．
（2）運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究可知：電子豎直方向上做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，v_y=v₀tan30°=at=$\frac{eE}{m}$t，水平方向t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，聯(lián)立可求出E．
（3）在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)電子的偏轉(zhuǎn)角為60°，由幾何知識(shí)得到在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在x軸方向上的位移等于電子的軌跡半徑R，由題意，粒子到達(dá)N點(diǎn)而且速度符合要求的空間條件是：$\overline{MN}$=n•R=2L，由牛頓第二定律得到半徑R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$，聯(lián)立得到磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小表達(dá)式．電子在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期恰好轉(zhuǎn)過(guò)$\frac{1}{6}$圓周，同時(shí)MN間運(yùn)動(dòng)時(shí)間是磁場(chǎng)變化半周期的整數(shù)倍時(shí)，可使粒子到達(dá)N點(diǎn)并且速度滿足題設(shè)要求，應(yīng)滿足的時(shí)間條件：$\frac{T}{2}$=$\frac{{T}_{運(yùn)}}{6}$，而T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$，可求得T的表達(dá)式．

解答 解：（1）電子在電場(chǎng)中作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，射出電場(chǎng)時(shí)，
由速度關(guān)系：$\frac{{v}_{0}}{v}$=cos30°
解得：v=$\frac{2}{3}\sqrt{3}{v}_{0}$
軌跡如圖所示：
（2）由速度關(guān)系得 v_y=v₀•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$v₀
在豎直方向 a=$\frac{eE}{m}$   v_y=at=$\frac{eE}{m}$•$\frac{L}{{v}_{0}}$
解得 E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3eL}$
（3）如圖所示，在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)粒子的偏轉(zhuǎn)角為60°，所以，在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在x軸方向上的位移等于R．粒子到達(dá)N點(diǎn)而且速度符合要求的空間條件是：
$\overline{MN}$=n•R=2L
電子在磁場(chǎng)作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑 R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{e{B}_{0}}$
得 B₀=$\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$（n=1，2，3…）
若粒子在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期恰好轉(zhuǎn)過(guò)$\frac{1}{6}$圓周，同時(shí)MN間運(yùn)動(dòng)時(shí)間是磁場(chǎng)變化半周期的整數(shù)倍時(shí)，可使粒子到達(dá)N點(diǎn)并且速度滿足題設(shè)要求．應(yīng)滿足的時(shí)間條件：$\frac{T}{2}$=$\frac{{T}_{運(yùn)}}{6}$   T=$\frac{1}{3}$T_運(yùn)=$\frac{2πm}{3{B}_{0}e}$
代入T的表達(dá)式得：T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$（n=1，2，3…）
答：（1）電子進(jìn)入圓形區(qū)域時(shí)的速度大小是$\frac{2}{3}\sqrt{3}{v}_{0}$，軌跡如圖所示；
（2）0≤x≤L區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小是$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{3eL}$；
（3）寫(xiě)出圓形區(qū)域磁場(chǎng)的變化周期表達(dá)式為T(mén)=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$（n=1，2，3…）、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小表達(dá)式是得 B₀=$\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；解題過(guò)程中要畫(huà)出軌跡圖分析，特別是第三小題，要抓住周期性，根據(jù)幾何關(guān)系求解電子的半徑滿足的條件．