Question

2．如圖，小球從光滑的斜軌道下滑至水平軌道末端時(shí)，光電裝置被觸動(dòng)，控制電路會(huì)使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)起來．轉(zhuǎn)筒的底面半徑為R，在轉(zhuǎn)筒側(cè)壁的同一豎直線上有兩個(gè)小孔A、B，已知軌道末端與轉(zhuǎn)筒上部相平，與轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)軸距離為L(zhǎng)=5R，且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔B的高度差為h=3R．開始時(shí)轉(zhuǎn)筒靜止，且小孔正對(duì)著軌道方向．現(xiàn)讓一小球從斜軌道上的某處無初速滑下，若正好能鉆入轉(zhuǎn)筒的小孔A，并從小孔B鉆出．（小孔比小球略大，小球視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g），求：
（1）小球通過光電裝置時(shí)的速度大�。�
（2）A、B兩孔的間距△h；
（3）轉(zhuǎn)筒的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）從O到B的過程，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求解小球通過光電裝置時(shí)的速度大小；
（2）從O到A的過程中，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公求出從O到A豎直方向的位移，從而求出AB間的高度；
（3）能鉆入小孔A，并從小孔B鉆出需滿足：t₁=nT，${t}_{2}=（k+\frac{1}{2}）T$，根據(jù)加速度與周期的關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解即可．

解答 解：設(shè)小球通過光電裝置的位置為O點(diǎn)，從O到進(jìn)入A孔的時(shí)間為t₁，從O到穿出B孔的時(shí)間為t₂，
（1）從O到B的過程，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式得：L+R=v₀t₂，
h=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$                     
聯(lián)立解得：${v}_{0}=\sqrt{6gR}$
（2）設(shè)O點(diǎn)與A點(diǎn)高度差為h₁，
從O到A的過程中，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式得：
L-R=v₀t₁，${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$
聯(lián)立解得：${h}_{1}=\frac{4}{3}R$
而△h=h-h₁
解得：$△h=\frac{5}{3}R$
（3）能鉆入小孔A，并從小孔B鉆出需滿足：
t₁=nT，${t}_{2}=（k+\frac{1}{2}）T$，
${t}_{1}=\frac{L-R}{{v}_{0}}$，${t}_{2}=\frac{L+R}{{v}_{0}}$，其中T=$\frac{2π}{ω}$
即$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{2}{3}$  解得3n=2k+1
令n=2m+1，k=3m+1，m=0，1，2，3…
解得$ω=\frac{π（2m+1）}{2R}{v}_{0}$ 代入${v}_{0}=\sqrt{6gR}$
得$ω=\frac{π\(zhòng)sqrt{6gR}（2m+1）}{2R}$，m=0，1，2，3…
答：（1）小球通過光電裝置時(shí)的速度大小為$\sqrt{6gR}$；
（2）A、B兩孔的間距△h為$\frac{5}{3}R$；
（3）轉(zhuǎn)筒的角速度ω為$\frac{π\(zhòng)sqrt{6gR}（2m+1）}{2R}$m=0，1，2，3…．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析求出小球和圓筒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、角速度與周期的關(guān)系列式求解，注意圓通轉(zhuǎn)動(dòng)過程中具有周期性，難度適中．