Question

12．如圖所示，在光滑斜面上有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊A、B．它們的質(zhì)量均為2m，彈簧的勁度系數(shù)為k，C為一固定擋板，物塊A通過一根輕繩跨過光滑的定滑輪與物塊D相連，物塊D的質(zhì)量也為2m，用手托住物塊D，使輕繩拉直但沒有作用力．從靜止釋放物塊D，當(dāng)物塊D達(dá)到最大速度時(shí)，物塊B恰好離開擋板C．求：
（1）斜面的傾角θ；
（2）物塊D的最大速度v_m；
（3）在其他條件不變的情況下，將物塊D的質(zhì)量改為$\frac{3m}{2}$，若物塊D的最大速度為v，求物塊D從開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)到最大速度的過程中彈簧的彈性勢(shì)能的變化量△E_p．

Answer 1

分析 （1）物塊D達(dá)到最大速度時(shí)，A、B、D系統(tǒng)平衡，根據(jù)平衡條件列方程求解斜面的傾角θ；
（2）、（3）系統(tǒng)組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，據(jù)此列方程求解；

解答 解：（1）物塊D達(dá)到最大速度時(shí)，A、B、D系統(tǒng)平衡，則：4mgsinθ=2mg…①
所以θ=30°
（2）釋放物塊D前，對(duì)物塊A有：2mgsinθ=kx₁…②
物塊D達(dá)到最大速度時(shí)，對(duì)物塊B有：2mgsinθ=kx₂…③
由 ②③得：x₂=x₁=$\frac{mg}{k}$，即從釋放物塊D到物塊D達(dá)到最大速度的過程中，彈簧的彈性勢(shì)能不變．
則由機(jī)械能守恒得：2mg（x₁+x₂）=2mg（x₁+x₂）sin30°+$\frac{1}{2}$（4m）${v}_{m}^{2}$…④
聯(lián)立得：v_m=g$\sqrt{\frac{m}{k}}$…⑤
（3）物塊D達(dá)到最大速度時(shí)，B未離開擋板C，A、D系統(tǒng)平衡，則：
  $\frac{3}{2}$mg=kx₃+2mgsinθ…⑥
 所以x₃=$\frac{mg}{2k}$＜x₁，彈簧的彈性勢(shì)能減少．則由機(jī)械能守恒得：
$\frac{3}{2}$mg（x₃+x₁）-△E_p=2mg（x₃+x₁）sinθ+$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}m+2m$）v²…⑦
聯(lián)立得：△E_p=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}}{4k}$-$\frac{7}{4}$mv²…⑧
答：（1）斜面的傾角θ為30°；
（2）物塊D的最大速度v_m為g$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（3）物塊D達(dá)到最大速度的過程中彈簧的彈性勢(shì)能變化量是$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}}{4k}$-$\frac{7}{4}$mv²．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了共點(diǎn)力平衡、牛頓第二定律、胡克定律和機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．