Question

15．在地面上方，一小圓環(huán)A套在一條均勻直桿B上，A和B的質(zhì)量均為m，若它們之間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生f=0.5mg的摩擦力．開(kāi)始時(shí)A處于B的最下端，B豎直放置，在A的下方h=0.2m處，存在一個(gè)“相互作用”區(qū)域C，區(qū)域C的高度d=0.30m，固定在空中如圖中劃有虛線的部分，當(dāng)A進(jìn)入?yún)^(qū)域C時(shí)，A就受到方向向上的恒力F作用．F=2mg，區(qū)域C對(duì)桿B不產(chǎn)生作用力．A和B一起由靜止開(kāi)始下落，已知桿B落地時(shí)A和B的速度相同．不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A在相互作用區(qū)域內(nèi)，A、B的加速度？
（2）A剛離開(kāi)作用區(qū)域時(shí)，A、B的速度？
（3）桿B的長(zhǎng)度L至少應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律分別求出在相互作用區(qū)域內(nèi)，A、B的加速度大小．
（2）根據(jù)速度位移公式求出下落h時(shí)的速度，根據(jù)速度位移公式求出A離開(kāi)相互作用區(qū)域時(shí)的速度，結(jié)合速度時(shí)間公式求出A在相互作用區(qū)域內(nèi)的時(shí)間，從而結(jié)合速度時(shí)間公式求出B的速度．
（3）在相互作用區(qū)域，根據(jù)牛頓第二定律求解出兩個(gè)物體的加速度，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式和速度時(shí)間關(guān)系公式求解出離開(kāi)相互作用區(qū)域的時(shí)間和速度，得到相對(duì)位移；此后再次根據(jù)牛頓第二定律求解出兩個(gè)物體的加速度，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式和速度時(shí)間關(guān)系公式求解出最終同速時(shí)的相對(duì)位移；最后加上兩個(gè)相對(duì)位移即可．

解答 解：（1）以A為研究對(duì)象有：F-mg-f=ma_A
代入數(shù)據(jù)解得：a_A=5m/s²
方向豎直向上．
以B為研究對(duì)象：mg-f=ma_B
代入數(shù)據(jù)解得a_B=5m/s²，方向豎直向下．
（2）下落h時(shí)速度為V₀，則有：V₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.2}$m/s=2m/s
根據(jù)V_A²=V₀²-2a_Ad 代入數(shù)據(jù)解得：V_A=1m/s
t₁=$\frac{{{V_0}-{V_A}}}{a_A}$=$\frac{2-1}{5}s$=$\frac{1}{5}$s          
則V_B=V₀+a_Bt₁=$2+5×\frac{1}{5}$m/s=3m/s
（3）B在t₁內(nèi)下落高度為h_B：h_B=$\frac{{{V_0}+{V_B}}}{2}{t_1}$=$\frac{2+3}{2}×\frac{1}{5}$m=0.5m
所以 A相對(duì)B的位移為：△x₁=h_B-d=0.5-0.3m=0.2m
A出作用區(qū)域后：加速度a′_A=$\frac{mg+f}{m}$=15m/s²
B的加速度不變，當(dāng)速度相同時(shí)：有V_A+a_A′t₂=V_B+a_Bt₂
代入數(shù)據(jù)解得t₂=0.2s
相同速度為：V=V_A+a′_At₂=1+15×0.2m/s=4m/s
在t₂時(shí)間內(nèi)：h_A′=$\frac{{{V_A}+V}}{2}{t_2}$=$\frac{1+4}{2}×0.2m$=0.5m      
h_B′=$\frac{{{V_B}+V}}{2}{t_2}$=$\frac{3+4}{2}×0.2$m=0.7m
A相對(duì)B的位移為：△x₂=h_B′-h_A′=0.2m   
即桿的長(zhǎng)度L=△x₁+△x₂=0.4m
答：（1）A在相互作用區(qū)域內(nèi)，A、B的加速度分別為5m/s²、方向向上，5m/s²，方向向下．
（2）A剛離開(kāi)作用區(qū)域時(shí)，A、B的速度分別為1m/s、3m/s．
（3）桿B的長(zhǎng)度L至少應(yīng)為0.4m．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要根據(jù)兩物體的受力情況，分析運(yùn)動(dòng)情況，其次運(yùn)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決勻變速直線運(yùn)動(dòng)，要注意尋找兩物體之間的關(guān)系，比如速度相同，運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性等．