Question

18．如圖所示為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機(jī)組成，一臺水平傳送，A、B兩端相距4m，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=30°，C、D兩端相距5.25m，B、C相距很近，水平部分AB以6m/s的速率順時針轉(zhuǎn)動，將一米袋無初速度的放在A端，米袋被傳送帶AB運(yùn)送到達(dá)B端后，傳到傾斜的CD部分（米袋從AB進(jìn)入CD無能量損失），米袋與傳送帶AB間的動摩擦因數(shù)為0.5，與傳送帶CD間的動摩擦因數(shù)為$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$．（g取10m/s²）試求：
（1）若CD部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離；
（2）若要米袋能被送到D端，求CD部分順時針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件及米袋從C端到D端所用時間的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能為6m/s，則應(yīng)判斷米袋到達(dá)B點(diǎn)時是否已達(dá)最大速度，若沒達(dá)到，則由位移與速度的關(guān)系可求得B點(diǎn)速度，若達(dá)到，則以6m/s的速度沖上CD；在CD面上由牛頓第二定律可求得米袋的加速度，則由位移和速度的關(guān)系可求得上升的最大距離；
（2）米袋在CD上應(yīng)做減速運(yùn)動，若CD的速度較小，則米袋的先減速到速度等于CD的速度，然后可能減小到零，此為最長時間；而若傳送帶的速度較大，則米袋應(yīng)一直減速，則可求得最短時間；

解答 解：（1）米袋在AB上加速時的加速度a₀=$\frac{μmg}{m}=μg$=0.5×10=5m/s²
米袋的速度達(dá)到v₀=6m/s時，
滑行的距離s₀=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{0}}=\frac{36}{10}=3.6m$＜AB=4m，
因此米袋在到達(dá)B點(diǎn)之前就有了與傳送帶相同的速度
設(shè)米袋在CD上運(yùn)動的加速度大小為a，
由牛頓第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)得 a=8m/s²
所以能滑上的最大距離 s=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{36}{16}$=2.25m
（2）設(shè)CD部分運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v₁時米袋恰能到達(dá)D點(diǎn)（即米袋到達(dá)D點(diǎn)時速度恰好為零），
則米袋速度減為v₁之前的加速度為a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-8 m/s²
米袋速度小于v₁至減為零前的加速度為a₂=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由$\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{0-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}$=5.25m
解得：v₁=4m/s，即要把米袋送到D點(diǎn)，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
米袋恰能運(yùn)到D點(diǎn)所用時間最長為t_max=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}+\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)得：t_max=2.25s
若CD部分傳送帶的速度較大，使米袋沿CD上滑時所受摩擦力一直沿皮帶向上，
則所用時間最短，此種情況米袋加速度一直為a₂．
由S_CD=v₀t_min+$\frac{1}{2}$a₂t²_min，
代入數(shù)據(jù)得：t_min=1.06s
所以，所求的時間t的范圍為 1.06 s≤t≤2.25 s；
答：（1）若CD 部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，米袋沿傳送帶所能上升的最大距離為2.25m．
（2）若要米袋能被送到D 端，CD 部分順時針運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足大于等于4m/s，米袋從C 端到D 端所用時間的取值范圍為 1.06 s≤t≤2.25 s．

點(diǎn)評 本題難點(diǎn)在于通過分析題意找出臨條界件，注意米袋在CD段所可能做的運(yùn)動情況，從而分析得出題目中的臨界值為到達(dá)D點(diǎn)時速度恰好為零；本題的難度較大．