Question

15．如圖甲所示，質(zhì)量M=3kg足夠長(zhǎng)的小車靜止在水平面上，半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓軌道的下端與小車的右端平滑對(duì)接，質(zhì)量m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）由軌道頂端靜止釋放，接著物塊離開圓軌道滑上小車．從物塊滑上小車開始計(jì)時(shí)，物塊運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化如圖乙所示．己知小車與水平面間的摩擦因數(shù)μ₀=0.01，重力加速度10m/s²，求：

（1）物塊經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F大��；
（2）直到物塊與小車相對(duì)靜止的過程中因摩擦共產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊到達(dá)圓軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出對(duì)軌道壓力F的大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出物塊和小車的加速度，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，保持相對(duì)靜止，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出相對(duì)靜止所需的時(shí)間．小車先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與滑塊速度相等后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小車運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，小車右端距軌道B端的距離．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物塊和小車的相對(duì)位移，根據(jù)Q=f△s求出產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得  $mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得 R=0.8m
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得物塊對(duì)軌道的壓力大小為  $F-mg=m\frac{v^2}{R}$
解得   F=30N
（2）物塊滑上小車后，由圖象可知物塊的加速度大小為  ${a_1}=1m/{s^2}$
  物塊與小車間的摩擦力的大小為 f₁=ma₁=1N
設(shè)小車的加速度為a₂，則 f₁-μ₀（M+m）g=Ma₂
解得   ${a_2}=0.2m/{s^2}$
當(dāng)它們達(dá)到相同的速度時(shí)，有 v=v₀-a₁tv=a₂t
解得  $t=\frac{10}{3}s$
這一過程中，物塊的位移為  ${x_1}={v_0}t-\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=\frac{70}{9}m$
小車的位移為    ${x_2}=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}=\frac{10}{9}m$
物塊與小車因摩擦產(chǎn)生的熱量為  ${Q_1}={f_1}（{x_1}-{x_2}）=\frac{20}{3}J$
小車與地面摩擦產(chǎn)生的熱量為 ${Q_2}={μ_0}（M+m）g{x_2}=\frac{4}{9}J$
所以共產(chǎn)生的熱量為 $Q={Q_1}+{Q_2}=\frac{64}{9}J$
答：
（1）物塊經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F大小是30N；
（2）直到物塊與小車相對(duì)靜止的過程中因摩擦共產(chǎn)生的熱量Q是$\frac{64}{9}$J．

點(diǎn)評(píng) 此題的關(guān)鍵理清物塊和小車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，運(yùn)用機(jī)械能守恒、功能關(guān)系、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．知道摩擦生熱與相對(duì)路程有關(guān)．