Question

【題目】如圖所示,真空中一平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),存在著兩個(gè)邊長(zhǎng)為L的正方形勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域I、II和兩個(gè)直徑為L的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域III,IV.電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小均為E,區(qū)域I的場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正方向,其下邊界在x軸上,右邊界剛好與區(qū)域III的邊界相切;區(qū)域II的場(chǎng)強(qiáng)方向沿y軸正方向,其上邊界在x軸上,左邊界剛好與區(qū)域僅的邊界相切.磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為 ,區(qū)域III的圓心坐標(biāo)為(0，)、磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向外;區(qū)域IV的圓心坐標(biāo)為(0，-),磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里.兩個(gè)質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電粒子M、N,在外力約束下靜止在坐標(biāo)分別為(，)、(，)的兩點(diǎn).在Y軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)放置一塊足夠長(zhǎng)的感光板,板面垂直于xOy平面.將粒子M、N由靜止釋放,它們最終打在感光板上并立即被吸收.不計(jì)粒子的重力.求:

(1)粒子離開電場(chǎng)I時(shí)的速度大小.

(2)粒子M擊中感光板的位置坐標(biāo).

(3)粒子N在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

Answer 1

【答案】（1）（2）（2L，0）（3）

【解析】

（1）粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng),由動(dòng)能定理得:

計(jì)算得出 .

（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律得:

因

故得
因M運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與磁場(chǎng)區(qū)域的半徑相同，故M在磁場(chǎng)Ⅲ中運(yùn)動(dòng)四分之一周期后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅳ，再運(yùn)動(dòng)四分之一周期后平行于x軸正方向離開磁場(chǎng)，然后進(jìn)入電場(chǎng)Ⅱ做類平拋運(yùn)動(dòng)；假設(shè)M射出電場(chǎng)后再打在x軸的感光板上，則:
M在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間
沿電場(chǎng)力位移;
所以假設(shè)成立,運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示.沿電場(chǎng)方向的速度
速度偏向角的正切

設(shè)出電場(chǎng)后沿x軸方向的位移為x1，則，所以；

M擊中感光板的橫坐標(biāo)為，位置坐標(biāo)為（2L，0）;

（3）N做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與磁場(chǎng)區(qū)域的半徑相同，分析可得N將從b點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，由坐標(biāo)原點(diǎn)O離開磁場(chǎng)Ⅲ進(jìn)入磁場(chǎng),然后從d點(diǎn)離開磁場(chǎng)Ⅳ，其部分軌跡如右圖所示；
在磁場(chǎng)Ⅲ中,由幾何關(guān)系得: ；所以θ=300；

圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角

粒子在運(yùn)動(dòng)的周期
所以粒子在磁場(chǎng)Ⅲ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
由對(duì)稱關(guān)系得粒子在磁場(chǎng)Ⅲ、Ⅳ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：