Question

如圖所示，一質(zhì)量m=0.1kg、電量q=1.0×10^-5 C的帶正電小球（可視作點(diǎn)電荷），它在一高度和水平位置都可以調(diào)節(jié)的平臺(tái)上滑行一段距離后平拋，并沿圓弧軌道下滑。A、B為圓弧兩端點(diǎn)，其連線水平，已知圓弧半徑R=1.0m，平臺(tái)距AB連線的高度h可以在0.2m-0.8m.之間調(diào)節(jié)。有一平行半徑OA方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，只存在圓弧區(qū)域內(nèi)。為保證小球從不同高度h平拋，都恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，小球平拋初速度v₀和h滿足如圖所示的拋物線，其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.2，1.5），（0.8，3.0）。同時(shí)調(diào)節(jié)平臺(tái)離開(kāi)A點(diǎn)的距離合適。不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，求：

（1）小球在空中飛行的最短時(shí)間t；

（2）平臺(tái)離開(kāi)A的水平距離x范圍；

（3）當(dāng)h=0.2m且E=2.5×10⁴N/C時(shí)，小球滑到最低點(diǎn)C點(diǎn)的速度v；

（4）為了保證小球在圓軌道內(nèi)滑動(dòng)到C點(diǎn)的速度都是（3）中的v，則電場(chǎng)力F=qE的大小應(yīng)與平臺(tái)高度h滿足的關(guān)系。（通過(guò)列式運(yùn)算說(shuō)明）

 

 

Answer 1

【答案】

（1）0.2s（2）1.2m（3）v_C=3.5m/s（4）

【解析】（1）（2分）當(dāng)平臺(tái)高度為0.2m時(shí)，空中飛行的最短時(shí)間t==0.2s

（2）（4分）因?yàn)樾∏驈牟煌�高度h平拋，都恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，所以小球進(jìn)入圓弧軌道時(shí)時(shí)的速度方向不變，設(shè)此速度與豎直方向成α角。

tgα==

v₀²=2ghtan²α

由圖像中當(dāng)h=0.8m時(shí)，v₀=3m/s代入上式得

9=2×10×0.8×tg²α

tgα=0.75    α=37⁰    則θ=106⁰

所以v₀²=11.25h

當(dāng)h=0.2m時(shí), v₀=1.5m/s

平臺(tái)離開(kāi)A的最小距離為s₁= v₀t=1.5×0.2=0.3m

同理得平臺(tái)離開(kāi)A的最大距離為s₂= v₀=3×=1.2m

（3）（4分）小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A===2.5m/s

從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

mgR(1-cos53⁰)-qE R(1-cos53⁰)= mv_C²- mv_A²

代入數(shù)據(jù)，解得v_C=3.5m/s

（4）（4分）從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

mgR(1-cos53⁰)-FR(1-cos53⁰)=mv_C²- mv_A²

  =mv_C²- m

=mv_C²- m

代入數(shù)據(jù)得32F=125h-17

或

 

本題考查的是對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合及動(dòng)能定理的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的一些規(guī)律，再利用動(dòng)能定理即可求解問(wèn)題；