Question

2．邊長(zhǎng)為a的正n邊形A₁，A₂，A₃，…A_n各頂點(diǎn)上均有一人，某刻，這些人同時(shí)開(kāi)始以相等的速率v運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中始終保持A₁朝著A₂，A₂朝著A₃，…，A_n朝著A₁，問(wèn)他們每人各自通過(guò)多長(zhǎng)的路程而相遇？

Answer 1

分析 任何時(shí)刻所有人都構(gòu)成一個(gè)正n邊形，同時(shí)到達(dá)正n邊形A₁A₂A₃…A_n的中心．根據(jù)A₁相對(duì)A₂在連線方向的速度分量，求解各自的路程．

解答 解：由對(duì)稱性易見(jiàn)，任意時(shí)刻他們都落在一個(gè)正n邊形的頂點(diǎn)上，相遇時(shí)所有人同時(shí)到達(dá)正n邊形A₁A₂A₃…A_n的中心．
他們的速度方向的夾角保持不變，所以A₁相對(duì)A₂在他們連線方向上的速度分量為常數(shù)，為v（1-cos$\frac{2π}{n}$）．
邊長(zhǎng)為a，則相遇時(shí)間為$\frac{a}{v（1-cos\frac{2π}{n}）}$．
又每個(gè)人保持速率為v，所以路程為 S=$\frac{a}{1-cos\frac{2π}{n}}$．
答：他們每人各自通過(guò)$\frac{a}{1-cos\frac{2π}{n}}$的路程而相遇．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵得出以A₂為參考系A(chǔ)₁的速度，本題也可以通過(guò)伽利略相對(duì)性原理，始終以兩個(gè)人之間的連線為參考系．將兩個(gè)人的速度在這個(gè)線上分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．