Question

2．邊長為a的正n邊形A₁，A₂，A₃，…A_n各頂點上均有一人，某刻，這些人同時開始以相等的速率v運動，運動中始終保持A₁朝著A₂，A₂朝著A₃，…，A_n朝著A₁，問他們每人各自通過多長的路程而相遇？

Answer 1

分析 任何時刻所有人都構成一個正n邊形，同時到達正n邊形A₁A₂A₃…A_n的中心．根據(jù)A₁相對A₂在連線方向的速度分量，求解各自的路程．

解答 解：由對稱性易見，任意時刻他們都落在一個正n邊形的頂點上，相遇時所有人同時到達正n邊形A₁A₂A₃…A_n的中心．
他們的速度方向的夾角保持不變，所以A₁相對A₂在他們連線方向上的速度分量為常數(shù)，為v（1-cos$\frac{2π}{n}$）．
邊長為a，則相遇時間為$\frac{a}{v（1-cos\frac{2π}{n}）}$．
又每個人保持速率為v，所以路程為 S=$\frac{a}{1-cos\frac{2π}{n}}$．
答：他們每人各自通過$\frac{a}{1-cos\frac{2π}{n}}$的路程而相遇．

點評 本題關鍵得出以A₂為參考系A₁的速度，本題也可以通過伽利略相對性原理，始終以兩個人之間的連線為參考系．將兩個人的速度在這個線上分解，結(jié)合運動學公式進行求解．