Question

6．如圖所示，遙控電動(dòng)賽車（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t后關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，賽車?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后進(jìn)入固定的圓形光滑過山車軌道，通過軌道最高點(diǎn)P后又進(jìn)入水平軌道CD上．已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為車重的0.5倍，賽車的質(zhì)量m=0.4kg，通電后賽車的電動(dòng)機(jī)以額定功率P=2W工作，軌道AB的長(zhǎng)度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可以忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比賽，要求賽車在運(yùn)動(dòng)過程中既不能脫離軌道，又要在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短．在此條件下，求：
（1）賽車過P點(diǎn)時(shí)，不脫離軌道的最小速度V_p；
（2）賽車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程x；
（3）賽車電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）賽車在電動(dòng)機(jī)牽引力作用下從靜止開始加速運(yùn)動(dòng)，之后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)滑行，正好能在運(yùn)動(dòng)過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短．因此利用車恰能通過軌道最高來求出P點(diǎn)速度；
（2）（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出進(jìn)入軌道C點(diǎn)的最小速度，從而由動(dòng)能定理來求出CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程，同時(shí)再由動(dòng)能定理來求出賽車電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間．

解答 解：（1）要求賽車在運(yùn)動(dòng)過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短，則賽車經(jīng)過圓軌道P點(diǎn)時(shí)速度最小，此時(shí)賽車對(duì)軌道的壓力為零，重力提供向心力：
mg=m$\frac{{V}_{p}}{R}$  
V_p=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s 
（2）賽車在C點(diǎn)的速度為v_C，由機(jī)械能守恒定律可得：
mg•2R+$\frac{1}{2}$mV${\;}_{P}^{2}$=$\frac{1}{2}$mV${\;}_{c}^{2}$ 
由上述兩式聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)可得：
v_C=5 m/s 
設(shè)賽車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程為x，由動(dòng)能定理可得：-kmgx=0-$\frac{1}{2}$mV${\;}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可得：x=2.5 m  
（3）由于豎直圓軌道光滑，由機(jī)械能守恒定律可知：
v_B=v_C=5 m/s  
從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，由能量守恒定律可得：
P_t=kmgL+$\frac{1}{2}$mV${\;}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可得：t=4.5 s 
答：（1）賽車過P點(diǎn)時(shí)，不脫離軌道的最小速度V_p為$\sqrt{5}$m/s；
（2）賽車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程x為2.5m；
（3）賽車電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間t為4.5s．

點(diǎn)評(píng) 本題突破口是小車恰能通過最高點(diǎn)時(shí)，就是小車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程．同時(shí)對(duì)動(dòng)能定理，機(jī)械能守恒定律理解．