Question

圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的二個圓形軌道組成，B、C分別是二個圓形軌道的最低點，BC 間距L=12.5m，第一圓形軌道半徑R₁=1.4m．一個質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點），從軌道的左側(cè)A點以V=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動．小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊．計算結(jié)果保留小數(shù)點后一位數(shù)字．試求

（1）如果小球恰能通過第一圓形軌道，AB間距L₁應(yīng)是多少；
（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個圓形軌道的設(shè)計中，半徑R₂的可變范圍；
（3）小球最終停留點與起點A的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）小球恰能通過第一圓形軌道時，在軌道的最高點時由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出小球經(jīng)過最高點時的速度．對于小球從A點到第一圓形軌道最高點過程，運(yùn)用動能定理列式，求解AB間距L₁．
（2）要保證小球不脫離軌道，有兩種情況：
I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第二個圓軌道，與上題相似，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過最高點時的速度，根據(jù)動能定理求解半徑R₂．
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度等于R₂，即上升到與圓心等高處，根據(jù)動能定理求解半徑R₂．
為保證圓形軌道間不相互重疊，根據(jù)幾何知識知：R₂最大值應(yīng)滿足=L²+，解得R₂．即可得到半徑R₂的可變范圍；
（3）根據(jù)動能定理求解小球最終停留點與起始點A的距離．
解答：解：（1）設(shè)小球經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁==m/s
根據(jù)動能定理得
-μmgL₁-2mgR₁=mv₁²-mv²
解得 L₁=18.5m                      
（2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第二個圓軌道，設(shè)在最高點的速度為v₂，應(yīng)滿足
      mg=m
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=mv₂²-mv²
由上兩式解得：R₂=0.4m
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₂，即上升到與圓心等高的位置，
根據(jù)動能定理得
-μmg（L₁+L）-mgR₂=0-mv²
解得：R₂=1.0m
為了保證圓軌道不重疊，R₂最大值應(yīng)滿足：=L²+，
解得 R₂=27.9m                        
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件
  0＜R₂≤0.4m 或   1.0m≤R₂≤27.9m                               
（3）當(dāng)0＜R₂≤0.4m 時，小球最終停留點與起始點A的距離為L′，則
-μmgL′=0-mv²                  
解得 L′=36.0m                              
當(dāng)1.0m≤R₂≤27.9m 時，小球最終停留點與起始點A的距離為L〞，則
   L″=L′-2（L′-L₁-L）=26.0m
答：
（1）如果小球恰能通過第一圓形軌道，AB間距L₁應(yīng)是18.5m；
（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個圓形軌道的設(shè)計中，半徑R₂的可變范圍為 0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m；
（3）小球最終停留點與起點A的距離是36m或26m．
點評：選取研究過程，運(yùn)用動能定理解題．動能定理的優(yōu)點在于適用任何運(yùn)動包括曲線運(yùn)動．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．