Question

圖是一種過(guò)山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的二個(gè)圓形軌道組成，B、C分別是二個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，BC 間距L=12.5m，第一圓形軌道半徑R₁=1.4m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以V₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊．計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字．試求

（1）如果小球恰能通過(guò)第一圓形軌道，AB間距L₁應(yīng)是多少；
（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₂的可變范圍；
（3）小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離．

Answer 1

分析：（1）小球恰能通過(guò)第一圓形軌道時(shí)，在軌道的最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度．對(duì)于小球從A點(diǎn)到第一圓形軌道最高點(diǎn)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，求解AB間距L₁．
（2）要保證小球不脫離軌道，有兩種情況：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過(guò)第二個(gè)圓軌道，與上題相似，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解半徑R₂．
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度等于R₂，即上升到與圓心等高處，根據(jù)動(dòng)能定理求解半徑R₂．
為保證圓形軌道間不相互重疊，根據(jù)幾何知識(shí)知：R₂最大值應(yīng)滿足(R1+R2)2=L²+(R1-R2)2，解得R₂．即可得到半徑R₂的可變范圍；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求解小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離．

解答：解：（1）設(shè)小球經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁=

gR1

=

14

m/s
根據(jù)動(dòng)能定理得
-μmgL₁-2mgR₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²
解得 L₁=18.5m                      
（2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過(guò)第二個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₂，應(yīng)滿足
      mg=m

v 2 2

R2

-μmg（L₁+L）-2mgR₂=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₀²
由上兩式解得：R₂=0.4m
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₂，即上升到與圓心等高的位置，
根據(jù)動(dòng)能定理得
-μmg（L₁+L）-mgR₂=0-

1

2

mv₀²
解得：R₂=1.0m
為了保證圓軌道不重疊，R₂最大值應(yīng)滿足：(R1+R2)2=L²+(R1-R2)2，
解得 R₂=27.9m                        
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件
  0＜R₂≤0.4m 或   1.0m≤R₂≤27.9m                               
（3）當(dāng)0＜R₂≤0.4m 時(shí)，小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L(zhǎng)′，則
-μmgL′=0-

1

2

mv₀²                  
解得 L′=36.0m                              
當(dāng)1.0m≤R₂≤27.9m 時(shí)，小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L(zhǎng)〞，則
   L″=L′-2（L′-L₁-L）=26.0m
答：
（1）如果小球恰能通過(guò)第一圓形軌道，AB間距L₁應(yīng)是18.5m；
（2）在滿足（1）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第二個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₂的可變范圍為 0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m；
（3）小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離是36m或26m．

點(diǎn)評(píng)：選取研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過(guò)圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．