Question

16．如圖所示，空間中直線PQ以上存在磁感強(qiáng)度為4B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，PQ以下存在著磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向均垂直紙面向里，厚度不計(jì)的平行絕緣板EF、GH間距為d，垂直于PQ放置，有一個(gè)質(zhì)量為m的帶電粒子，電量為q，從EF的中間小孔M點(diǎn)射出，速度與水平方向成30°角，直接到達(dá)PQ邊界并垂直邊界射入上部磁場(chǎng)，軌跡如圖所示，以后的運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)一段時(shí)間后，粒子恰好能從GH板的小孔N點(diǎn)穿出，（粒子重力不計(jì)）求：
（1）粒子從M點(diǎn)出發(fā)的初速度v；
（2）粒子從M點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)N點(diǎn)所用時(shí)間；
（3）若粒子出發(fā)條件不變，EF板不動(dòng)，將GH板從原點(diǎn)位置向右平移，若仍需讓粒子穿過N點(diǎn)，則GH到EF的垂直距離x應(yīng)滿足什么條件？（用d來表示x）

Answer 1

分析 （1）粒子從M點(diǎn)到G點(diǎn)過程中，已知初速度和末速度的方向，根據(jù)左手定則得到洛侖茲力的方向，兩個(gè)方向的交點(diǎn)即為圓心，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑；然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解粒子從M點(diǎn)出發(fā)的初速度v；
（2）（3）先不考慮GH板的影響，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系將GH板安放在適當(dāng)?shù)奈恢�，再根�?jù)牛頓第二定律列式后分析求解即可．

解答 解：（1）由于粒子垂直于PQ進(jìn)入上部的磁場(chǎng)，則圓心一定在PQ上，如下圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：$\frac{R-d}{R}=sin30°$
又根據(jù) 第二定律，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得到粒子的初速度為：v=$\frac{2qdB}{m}$
 （2）粒子進(jìn)入上部磁場(chǎng)中軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$qv（4B）=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\fracdvht3tz{2}$
因此粒子恰好貼著EF板射入PQ下方，由對(duì)稱性可知，N點(diǎn)也恰好位于M等高點(diǎn)，如圖所示：
則粒子在PQ下方的運(yùn)動(dòng)周期：${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}$
而PQ上方的運(yùn)動(dòng)周期：${T}_{2}=\frac{2πm}{q（4B）}=\frac{πm}{2qB}$
從M到N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{1}{3}{T}_{1}+\frac{1}{2}{T}_{2}=\frac{11πm}{12qB}$
（3）若沒有HG擋板，則粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

若斜向下穿過GH，則到EF的距離為：
x=d+（2R-d）n=（3n+1）d   （n=0，1，2，3…）
若斜向上穿過GH，則到EF的距離為：
x=3（n+1）d （n=0，1，2，3…）
答：（1）粒子從M點(diǎn)出發(fā)的初速度v為$\frac{2qdB}{m}$；
（2）粒子從M點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)N點(diǎn)所用時(shí)間為$\frac{11πm}{12qB}$；
（3）若粒子出發(fā)條件不變，EF板不動(dòng)，將GH板從原點(diǎn)位置向右平移，若仍需讓粒子穿過N點(diǎn)，則GH到EF的垂直距離為：
x=d+（2R-d）n=（3n+1）d （n=0，1，2，3…）
或x=3（n+1）d （n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和牛頓第二定律得到軌道半徑，本題還要考慮周期性和重復(fù)性，不難．