Question

16．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy所在的平面內(nèi)，有垂直于該平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在xOy平面內(nèi)，從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿著與x軸正方向成θ=60°角及x軸正方向先后發(fā)射電荷量均為+q、質(zhì)量均為m、速度大小均為v的兩個(gè)帶電粒子．不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力．兩粒子的運(yùn)動軌跡除O點(diǎn)之外還有一個(gè)交點(diǎn)．
（1）試求出該交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若要求兩粒子在該交點(diǎn)剛好相遇，試求出兩粒子從O點(diǎn)發(fā)射的時(shí)間差的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，求出粒子的軌跡方程，然后求出兩粒子運(yùn)動軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)值．
（2）要使相遇時(shí)間最短，需使兩粒子第一次經(jīng)過P點(diǎn)就相遇，根據(jù)粒子的做圓周運(yùn)動的圓心角，結(jié)合周期公式求出先發(fā)射的粒子和后發(fā)射的粒子第一次經(jīng)過P點(diǎn)的時(shí)間，從而得出兩粒子從O點(diǎn)發(fā)射的時(shí)間差的最小值．

解答 解：（1）如圖所示是兩個(gè)粒子的運(yùn)動軌跡，其中O₁、O₂是兩個(gè)軌跡圓的圓心，P為兩個(gè)粒子運(yùn)動軌跡的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-y），設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為R，
對任一粒子，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得R=$\frac{mv}{qB}$，
由幾何關(guān)系知，四邊形OO₁PO₂是菱形，各邊的長度都是半徑R，且∠POO₂=30°，
所以O(shè)P=$2Rcos30°=\frac{\sqrt{3}mv}{qB}$，
x=$OPsin30°=\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}$，
所以交點(diǎn)坐標(biāo)為：$（\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}，-\frac{3mv}{2qB}）$．
（2）要使相遇時(shí)間最短，需使兩粒子第一次經(jīng)過P點(diǎn)就相遇，設(shè)兩個(gè)粒子在磁場中運(yùn)動的周期為T，有：
$T=\frac{2πm}{qB}$，
先發(fā)射的粒子第一次到達(dá)P點(diǎn)所需的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{240°}{360°}T=\frac{2}{3}×\frac{2πm}{qB}=\frac{4πm}{3qB}$．
后發(fā)射的粒子第一次到達(dá)P點(diǎn)所需要的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{120°}{360°}T=\frac{1}{3}T=\frac{1}{3}×\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$．
則時(shí)間差的最小值$△t={t}_{1}-{t}_{2}=\frac{2πm}{3qB}$．
答：（1）交點(diǎn)坐標(biāo)為：$（\frac{\sqrt{3}mv}{2qB}，-\frac{3mv}{2qB}）$．
（2）兩粒子從O點(diǎn)發(fā)射的時(shí)間差的最小值為$\frac{2πm}{3qB}$．

點(diǎn)評 本題考查了求兩粒子運(yùn)動軌跡交點(diǎn)坐標(biāo)值，由牛頓第二定律求出力的做圓周運(yùn)動的軌道半徑；粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，求出粒子的軌跡方程，解兩軌跡方程組成的方程組即可求出粒子運(yùn)動軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)值．