Question

5．如圖所示，兩根足夠長的光滑金屬平行導軌，導軌平面與水平面的夾角為30°，上端連接電阻R=4Ω，空間有垂直于導軌平面的勻強磁場，磁感應強度B=1T．一根與導軌接觸良好的質量m=0.2Kg，長度L=1m，電阻r=1Ω的金屬棒MN有靜止開始沿導軌下滑．求：（金屬導軌的電阻忽略不計，g取10m/s²）
（1）標出金屬棒MN的電流方向；
（2）金屬棒MN所達到的最大速率；
（3）在金屬棒的速率最大時，MN兩端的電壓．

Answer 1

分析 （1）由右手定則判斷金屬棒MN的電流方向．
（2）分析棒的運動情況：開始階段，棒的重力沿斜面向下的分力大于安培力，棒做加速運動，隨著速度增大，棒所受的安培力增大，加速度減小，則棒做加速度減小的變加速運動；當重力沿斜面向下的分力與安培力平衡時，棒做勻速運動，速度達到最大．根據E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL，推導出安培力的表達式，由平衡條件可求出最大速度．
（3）由上求出感應電流，由歐姆定律求解MN兩端的電壓．

解答 解：（1）由右手定則判斷知，金屬棒MN的電流方向由N→M．
（2）金屬棒MN勻速下滑時速度最大，設最大速度為v．
則感應電動勢 E=BLv
感應電流 I=$\frac{E}{R+r}$
棒所受安培力 F=BIL
則得 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
由平衡條件得 mgsin30°=F
聯立解得 v=$\frac{mg（R+r）sin30°}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{2×（4+1）×0.5}{{1}^{2}{×1}^{2}}$=5m/s
（3）在金屬棒的速率最大時，MN兩端的電壓 U=$\frac{R}{R+r}$BLv=$\frac{4}{4+1}$×1×1×5V=4V
答：
（1）標出金屬棒MN的電流方向如圖；
（2）金屬棒MN所達到的最大速率是5m/s；
（3）在金屬棒的速率最大時，MN兩端的電壓是4V．

點評 解決本題的關鍵要推導出安培力與速度關系式 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$．求最大速度也可以根據能量守恒列式：mgvsin30°=$\frac{（BLv）^{2}}{R+r}$．