Question

5．如圖所示，質(zhì)量分別為5m、3m、m的三個(gè)小球A、B、C，用兩根長為L的輕繩相連，置于傾角為30°、高為L的固定光滑斜面上，A球恰能從斜面頂端處豎直落下，弧形擋板使小球只能豎直向下運(yùn)動，碰撞過程中沒有動能損失，小球落地后均不再反彈．現(xiàn)由靜止開始釋放它們，不計(jì)所有摩擦．求：
（1）A球剛要落地時(shí)的速度大小．
（2）C球剛要落地時(shí)的速度大�。�
（3）在B球運(yùn)動的過程中，兩繩對B球做的總功．

Answer 1

分析 （1）在A球未落地前，A、B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，列式可求得A球剛要落地時(shí)的速度大小．
（2）在A球落地后，B球未落地前，B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，在B球落地后，C球未落地前，C球在下落過程中機(jī)械能守恒，分兩個(gè)過程由機(jī)械能守恒列式可求得C球剛要落地時(shí)的速度大�。�
（3）在B球下落過程中，重力和繩的拉力做功，運(yùn)用動能定理列式求解兩繩對B球做的總功．

解答 解：（1）在A球未落地前，A、B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)A球剛要落地時(shí)系統(tǒng)的速度大小為v₁，則：
$\frac{1}{2}$（m_A+m_B+m_C）v₁²=m_Agh_A-m_Bgh_B1-m_Cgh_C1
又h_A=L，h_B1=h_C1=Lsin 30°=$\frac{1}{2}$L
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$
（2）在A球落地后，B球未落地前，B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．設(shè)B球剛要落地時(shí)系統(tǒng)的速度大小為v₂，則：
$\frac{1}{2}$（m_B+m_C）v₂²-2（1）（m_B+m_C）v₁²=m_Bgh_B2-m_Cgh_C2
又h_B2=L，h_C2=Lsin 30°=$\frac{1}{2}$L
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$
在B球落地后，C球在下落過程中機(jī)械能守恒，設(shè)C球剛要落地時(shí)系統(tǒng)的速度大小為v₃，則：
$\frac{1}{2}$m_Cv₃²-2（1）m_Cv₂²=m_Cgh_C3
又h_C3=L
代入數(shù)據(jù)得：v₃=$\frac{\sqrt{7gL}}{2}$   
（3）在B球運(yùn)動過程中，重力和繩的拉力做功，設(shè)兩繩做的總功為W，根據(jù)動能定理可得：
${m}_{B}gLsin30°+W=\frac{1}{2}{{m}_{B}v}_{2}^{2}$      
代入數(shù)據(jù)解得：W=$\frac{1}{2}mgL$
答：（1）A球剛要落地時(shí)的速度大小$\sqrt{\frac{gL}{2}}$．
（2）C球剛要落地時(shí)的速度大小$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$．
（3）在B球運(yùn)動的過程中，兩繩對B球做的總功$\frac{1}{2}mgL$．

點(diǎn)評 本題繩系系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題，關(guān)鍵要善于選擇研究的過程，分段進(jìn)行列式求解．