Question

12．質(zhì)量為m的小球系于長為l的輕繩下端，繩上端掛于車上的架子上，如圖，求下列情況下繩與豎直方向的夾角及繩中的拉力大�。�
（1）小車沿水平面做勻速直線運動；
（2）小車以加速度a水平向右加速運動；
（3）小車從傾角為α的光滑斜面上滑下；
（4）小車以加速度a沿斜面向上加速運動．

Answer 1

分析 小球和小車具有相同的加速度，隔離對小球分析，根據(jù)小球的加速度得出小球的合力，結(jié)合平行四邊形定則，運用數(shù)學知識求解拉力的大小和繩子與豎直方向的夾角．

解答 解：（1）小車沿水平面勻速直線運動，小球處于平衡狀態(tài)，受重力和拉力平衡，
可知細繩與豎直方向的夾角為0°，拉力T₁=mg．
（2）小車以加速度a水平向右加速運動；小球所受的合力為ma，根據(jù)平行四邊形定則知：
${T}_{2}=\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}}$=m$\sqrt{{a}^{2}+{g}^{2}}$．
設(shè)繩子與豎直方向的夾角為θ，則有：tanθ=$\frac{ma}{mg}=\frac{a}{g}$．
（3）小車從傾角為α的光滑斜面上滑下；整體的加速度為：a=gsinα，
則小球的加速度為gsinα，
對小球分析，根據(jù)平行四邊形定則知，繩子的拉力為：T₃=mgcosα，
繩子與豎直方向的夾角為α．
（4）小車以加速度a沿斜面向上加速運動，則小球的合力為ma，方向沿斜面向上，重力與合力方向的夾角為90°+α，根據(jù)余弦定理知，
$cos（90°+α）=\frac{（ma）^{2}+（mg）^{2}-{{T}_{3}}^{2}}{2mg•ma}$，
解得：${T}_{3}=\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}+2mg•masinα}$．
設(shè)繩子與豎直方向的夾角為θ，則有：$cosθ=\frac{（mg）^{2}+{{T}_{3}}^{2}-（ma）^{2}}{2mg•{T}_{3}}$=$\frac{mg+masinα}{\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}-2mg•masinα}}$．
答：（1）細線的拉力為mg，與豎直方向的夾角為0度．
（2）細線的拉力為$m\sqrt{{a}^{2}+{g}^{2}}$，與豎直方向夾角的正切值為$\frac{a}{g}$．
（3）細線的拉力為mgcosα，繩子與豎直方向的夾角為α．
（4）細線的拉力為$\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}+2mg•masinα}$，繩子與豎直方向夾角的余弦值為$\frac{mg+masinα}{\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}-2mg•masinα}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道小球和小車具有相同的加速度，結(jié)合加速度的大小，運用牛頓第二定律進行求解．