Question

如圖所示，寬為L(zhǎng)=2m、足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌MN和M′N′放在傾角為θ=30°的斜面上，在N和N′之間連有一個(gè)0.8Ω的電阻R．在導(dǎo)軌上AA′處放置一根與導(dǎo)軌垂直、質(zhì)量為m=0.8kg、電阻r=0.8Ω的金屬滑桿，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)．用輕繩通過(guò)定滑輪將電動(dòng)小車與滑桿的中點(diǎn)相連，繩與滑桿的連線平行于斜面，開始時(shí)小車位于滑輪的正下方水平面上的P處（小車可視為質(zhì)點(diǎn)），滑輪離小車的高度H=4.0m．在導(dǎo)軌的NN′和OO′所圍的區(qū)域存在一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T、方向垂直于斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，此區(qū)域內(nèi)滑桿和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

3

4

，此區(qū)域外導(dǎo)軌是光滑的（取g=10m/s²）．若電動(dòng)小車沿PS以v=1.2m/s的速度勻速前進(jìn)時(shí)，滑桿由AA′滑到OO’位置過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量q=1.25C．g取10m/s²，求：

（1）位置AA′到OO′的距離d；
（2）若滑桿在細(xì)繩作用下通過(guò)OO′位置時(shí)加速度為a=2m/s²；求此時(shí)細(xì)繩拉力；
（3）若滑桿運(yùn)動(dòng)到OO′位置時(shí)繩子突然斷了，設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，若滑桿返回到AA′后恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求從斷繩到滑桿回到AA′位置過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式可求出上滑的位移．由

.

E

=

△Φ

△t

、I=

E

R+r

、q=I△t，出電量q．
（2）由速度公式求出金屬棒通過(guò)CC′時(shí)的速度大小v，此時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，感應(yīng)電流為I=

E

R+r

，金屬桿受到的安培力大小為BIL，根據(jù)牛頓第二定律求解外力F的大�。�
（3）對(duì)金屬棒運(yùn)用動(dòng)能定理求得克服安培力做功，即等于金屬棒放出的熱量Q．

解答：解：（1）滑桿由AA’滑到OO’的過(guò)程中切割磁感線，產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：

.

E

=

△Φ

△t

=

BLd

△t

．
平均電流為：I=

E

R+r

，
通過(guò)電阻R的電荷量為：q=I△t
聯(lián)立解得：d=

q(r+R)

BL

．
代入數(shù)據(jù)得：d=1m．
（2）滑桿運(yùn)動(dòng)到OO'位置時(shí)，小車通過(guò)S點(diǎn)時(shí)的速度為v=1.2m/s，設(shè)系繩與水平面的夾角α，則：

H

sinα

-H=d，
解得：sinα=

H

H+d

=0.8，α=53°
小車的速度可視為繩端沿繩伸長(zhǎng)方向的速度與垂直于繩長(zhǎng)方向的速度的合速度，此時(shí)滑桿向上的速度即繩端沿繩長(zhǎng)方向的速度為：v₁=vcosα=0.72m/s
 滑桿通過(guò)OO’位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₁
產(chǎn)生的感生電流為：I=

E

R+r

=

BLv1

R+r

  
滑桿受到的安培力為：F安=BIL=

B2L2v

R+r

代入數(shù)據(jù)得：F_安=0.18N 
滑桿通過(guò)OO’位置時(shí)所受摩擦力：
f=μmgcosθ=

3

4

×0.8×10×

3

2

=3N．
由F-mgsinθ-f-F_安=ma，
解得：F=10.4N
（3）滑桿運(yùn)動(dòng)到OO'位置時(shí)繩子突然斷了，滑桿將繼續(xù)沿斜面上滑，由機(jī)械能守恒，可知它再通過(guò)OO'的速度大小為0.72m/s，滑桿運(yùn)動(dòng)到AA'位置后做勻速運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)為v₂，有：
mgsinθ=μmgcosθ+

B2L2v2

R+r

代入數(shù)據(jù)得：v₂=0.4m/s
滑桿從OO'滑到AA'的過(guò)程中機(jī)械能轉(zhuǎn)換成電能最終轉(zhuǎn)化成電熱，由功能關(guān)系有：Q=

1

2

m(

v

2 1

-

v

2 2

)+mgdsinθ-μmgdcosθ
代入數(shù)據(jù)，可得：Q=1.14J
QR=

R

R+r

Q=0.57J
答：（1）位置AA′到OO′的距離為1m；
（2）若滑桿在細(xì)繩作用下通過(guò)OO′位置時(shí)加速度為a=2m/s²；此時(shí)細(xì)繩拉力為10.4N；
（3）電阻R上產(chǎn)生的熱量為0.57J．

點(diǎn)評(píng)：本題要掌握兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：感應(yīng)電量q=n

△Φ

R+r

和安培力F安=

B2L2v

R+r

．此題從力和能量?jī)蓚�(gè)角度進(jìn)行研究．