Question

如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌，相距上，導(dǎo)軌平面與水平面夾角為θ，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，平行導(dǎo)軌的上端連接一個(gè)阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m，電阻為

1

2

R的金屬棒oA垂直于導(dǎo)軌放置在導(dǎo)軌上，金屬棒從靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下滑．
（1）畫(huà)出ab在滑行過(guò)程中的受力示意圖．
（2）ab棒滑行的最大速度v_m=？
（3）若ab棒從靜止開(kāi)始沿斜面下滑距離s時(shí)，棒剛好達(dá)到最大速度，求棒從開(kāi)始下滑到最大速度過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q_R=？

Answer 1

分析：（1）先定性分析ab的受力情況，再畫(huà)出受力示意圖．
（2）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由歐姆定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（3）金屬棒由靜止開(kāi)始下滑s的過(guò)程中，重力和安培力對(duì)棒做功，棒的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能和電路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒列式可求出整個(gè)電路中產(chǎn)生的總電熱．

解答：解：（1）ab在滑行過(guò)程中的受力示意圖如圖，受到的力有重力mg、支持力N和安培力F．
（2）當(dāng)d0桿受到的合力為零時(shí)，有最大速度，設(shè)金屬棒ab中的電動(dòng)勢(shì)為E，電流為I，則有：
E=BLV_m
受到的安培力為：F=BIL
由歐姆定律可得電流為：I=

E

3 2 R

由平衡條件得：F=mgsinθ…①
聯(lián)立得：

B2L2vm

3 2 R

=mgsinθ…②
解得：vm=

3Rmgsinθ

2B2L2

…③
（3）設(shè)從靜止開(kāi)始到速度最大的過(guò)程中，產(chǎn)生的總熱量為Q，根據(jù)能量守恒有：
mgsinθ-

1

2

m

v

2 m

=Q…④
根據(jù)P=I²R有：QR=

2

3

Q…⑤
解得：QR=

2

3

mgssinθ-

3R2m3g2sin2θ

4B4L4

…⑥
或QR=

2

3

(mgssinθ-

9R2m3g2sin2θ

8B4L4

)
答：（1）畫(huà)出ab在滑行過(guò)程中的受力示意圖如圖所示．
（2）ab棒滑行的最大速度vm=

3Rmgsinθ

2B2L2

．
（3）若ab棒從靜止開(kāi)始沿斜面下滑距離s時(shí)，棒剛好達(dá)到最大速度，求棒從開(kāi)始下滑到最大速度過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量QR=

2

3

(mgssinθ-

9R2m3g2sin2θ

8B4L4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了電路知識(shí)、電磁感應(yīng)和力學(xué)知識(shí)，分析和計(jì)算安培力和能量如何轉(zhuǎn)化是兩個(gè)關(guān)鍵．