Question

如圖所示，圓管構(gòu)成的半圓形豎直軌道固定在水平地面上，軌道半徑為R，MN為直徑且與水平面垂直，直徑略小于圓管內(nèi)徑的質(zhì)量為m的小球A以某一初速度沖進(jìn)軌道，到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)M時與靜止于該處的質(zhì)量與A相同的小球B發(fā)生碰撞，碰后兩球粘在一起飛出軌道，落地點(diǎn)距N為2R．重力加速度為g，忽略圓管內(nèi)徑，空氣阻力及各處摩擦均不計(jì)，求：
（1）粘合后的兩球從飛出軌道到落地的時間t；
（2）小球A沖進(jìn)軌道時在N點(diǎn)對軌道的壓力大小和方向．

Answer 1

分析：（1）碰后兩球粘在一起飛出軌道，做平拋運(yùn)動，根據(jù)高度，運(yùn)用h=

1

2

gt2求出兩球運(yùn)動的時間．
（2）根據(jù)水平方向上的勻速直線運(yùn)動求出平拋運(yùn)動的初速度，根據(jù)動量守恒定律求出A球與B球碰撞前的速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出N點(diǎn)的速度，最后根據(jù)牛頓第二定律，沿半徑方向上的合力提供向心力，求出軌道對球的支持力，從而得出球?qū)�軌道的壓力�?/div>

解答：解：（1 ）粘合后的兩球飛出軌道后做平拋運(yùn)動，豎直方向分運(yùn)動為自由落體運(yùn)動，有
2R=

1

2

gt2①
解得  t=2

R g

   ②
故粘合后的兩球從飛出軌道到落地的時間t=2

R g

．
（2）設(shè)球A的質(zhì)量為m，碰撞前速度大小為v₁，把球A沖進(jìn)軌道最低點(diǎn)時的重力勢能定為0，由機(jī)械能守恒定律知

1

2

mv2=

1

2

mv12+2mgR ③
設(shè)碰撞后粘合在一起的兩球速度大小為v₂，由動量守恒定律知 mv₁=2mv₂④
飛出軌道后做平拋運(yùn)動，水平方向分運(yùn)動為勻速直線運(yùn)動，有 2R=v₂t⑤
綜合②③④⑤式得 v=2

2gR

⑥
由F-mg=m

v2

R

，得F=9mg．
由牛頓第三定律得：小球?qū)�軌道的壓力大小F′=9mg，方向豎直向下．     ⑦
故小球A沖進(jìn)軌道時在N點(diǎn)對軌道的壓力大小為9mg，方向豎直向下．

點(diǎn)評：本題是平拋運(yùn)動、圓周運(yùn)動的綜合題，綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、動量守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵運(yùn)用這些規(guī)律解題時要確定好研究的過程．