Question

如圖所示，圓管構(gòu)成的半圓形豎直軌道固定在水平地面上，軌道半徑R為5m，MN為直徑且與水平面垂直，直徑略小于圓管內(nèi)徑的小球A以某一初速度V₀從N點(diǎn)沖進(jìn)軌道，到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)M時(shí)與靜止于該處的質(zhì)量與A相同的小球B發(fā)生彈性碰撞，碰后A、B兩球交換速度，B球水平飛出軌道，落地點(diǎn)距N點(diǎn)距離為10m；A球從最高點(diǎn)初速度為零沿原路返回，水平地面的動(dòng)摩擦系數(shù)μ為0.5．重力加速度g取10m/s²，忽略圓管內(nèi)徑，空氣阻力及圓管內(nèi)部摩擦不計(jì)，求：
（1）B球從水平飛出軌道到落地的時(shí)間；
（2）小球A沖進(jìn)軌道時(shí)初速度V₀的大��；
（3）A、B兩球最終在水平面上的距離（設(shè)B球落地后不再運(yùn)動(dòng)）．

Answer 1

分析：（1）B球飛出軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，下落的高度為h=2R，由h=

1

2

gt2求解平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）B球平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離為S_B=10m，由S_B=v_Bt可求出B的初速度大小．由于碰撞過程交換速度，則知碰撞前A球的速度大�。�小球A從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程中，只有重力做功，其機(jī)械能守恒，即可求解球A沖進(jìn)軌道時(shí)初速度v₀的大小．
（3）小球A從最高點(diǎn)滑到N點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律求得滑到N點(diǎn)的速度大�。�由動(dòng)能定理求出A在水平面上滑行的距離，即可求出A、B兩球最終在水平面上的距離．

解答：解：（1）B球飛出軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，有：
   2R=

1

2

gt²，解得t=2

R g

=

2

s
（2）設(shè)球A的質(zhì)量為m，A碰B前速度大小為V_A，把球A沖進(jìn)軌道最低點(diǎn)位置的重力勢能定為0，由機(jī)械能守恒定律知
 

1

2

mV₀²=

1

2

mV_A²+mg?2R
B球飛出軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)B球速度為V_B，有S_B=V_Bt=V_At，得
  V_A=

gR

=5

2

m/s，
則：V₀=

5gR

=5

10

m/s
（3）A球再次經(jīng)N點(diǎn)向右滑出，

1

2

mV_A2²=mg?2R，得速度為V_A2=

4gR

=10

2

m/s
A球在水平面滑行過程，由動(dòng)能定理得
-μmgSA=0-

1

2

mV_A2²
解得SA=

VA22

2μg

=

2R

μ

=20m，
A向右運(yùn)動(dòng)碰撞原來靜止的B球，則A、B兩球速度交換，A停在原B球的位置不動(dòng)，B球以A球的速度繼續(xù)前進(jìn)，最終靜止．
則A、B間距為S_A-S_B=10m．
答：
（1）B球從水平飛出軌道到落地的時(shí)間是

2

s；
（2）小球A沖進(jìn)軌道時(shí)初速度V₀的大小是5

10

m/s；
（3）A、B兩球最終在水平面上的距離是10m．

點(diǎn)評：本題涉及多個(gè)過程，分析小球的運(yùn)動(dòng)過程，把握運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是關(guān)鍵，實(shí)質(zhì)是機(jī)械能守恒定律與平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理等等知識的綜合應(yīng)用．