Question

10．如圖所示，有一臺水平轉盤，盤上有一質量為m 的物體離轉軸的距離為r，中間用一根細線相連，物體和轉盤之間的動摩擦因數(shù)為μ，細線所能承受的最大拉力為3μmg，當圓盤靜止時，細線伸直但沒有拉力，求：
（1）當圓盤角速度θ₁=$\sqrt{\frac{μg}{2r}}$時，細線拉力F₁為多大？
（2）當圓盤角速度${θ}_{2}=\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$時，細線拉力F₂為多大？
（3）圓盤轉動的角速度多大時，細線被拉斷？

Answer 1

分析 （1）（2）當向心力大于最大靜摩擦力時，才會拉緊繩子，先求解只由靜摩擦力提供向心力時的臨界角速度，判斷繩子是否有張力；
（3）繩子的最大拉力和最大靜摩擦力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解最大角速度

解答 解：（1）當物體只由靜摩擦力提供向心力時，最大的向心力為μmg，此時
μmg≥mω²r
解得：ω≤$\sqrt{\frac{μg}{r}}$
當角速度${ω}_{1}=\sqrt{\frac{μg}{2r}}$時，由于ω₁＜$\sqrt{\frac{μg}{r}}$，所以細繩拉力T₁=0．
（2）當角速度ω₂=$\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$時，${T}_{2}+μmg={mω}_{2}^{2}r$
所以：${T}_{2}={mω}_{2}^{2}r-μmg$
（3）當拉力達到最大時，轉盤有最大角速度ω_max
${T}_{3}+μmg={mω}_{m}^{2}r$
即：3μmg+μmg=m${mω}_{m}^{2}r$
解得：ω_m=$\sqrt{\frac{4μg}{r}}$=2$\sqrt{\frac{μg}{r}}$
答：（1）當角速度為ω₁=$\sqrt{\frac{μg}{2r}}$時，細繩的拉力是0；
（2）當角速度ω₂=$\sqrt{\frac{3μg}{2r}}$時，細繩的拉力是0.5μmg；
（3）轉盤轉動的最大角速度是$2\sqrt{\frac{μg}{r}}$

點評 本題關鍵是找到向心力來源，注意當最大靜摩擦力不足提供向心力時，繩子才被拉長，發(fā)生微小形變，產生彈力