Question

1．如圖所示，傾斜角θ=30°的光滑傾斜導(dǎo)體軌道（足夠長(zhǎng)）與光滑水平導(dǎo)體軌道連接．軌道寬度均為L(zhǎng)=1m，電阻忽略不計(jì)．勻強(qiáng)磁場(chǎng)I僅分布在水平軌道平面所在區(qū)域，方向水平向右，大小B₁=1T；勻強(qiáng)磁場(chǎng)II僅分布在傾斜軌道平面所在區(qū)域，方向垂直于傾斜軌道平面向下，大小B₂=1T．現(xiàn)將兩質(zhì)量均為m=0.2kg，電阻均為R=0.5Ω的相同導(dǎo)體棒ab和cd，垂直于軌道分別置于水平軌道上和傾斜軌道上，并同時(shí)由靜止釋放．取g=10m/s²．
（1）求導(dǎo)體棒cd沿斜軌道下滑的最大速度的大��；
（2）若已知從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到cd棒達(dá)到最大速度的過(guò)程中，ab棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.45J，求該過(guò)程中通過(guò)cd棒橫截面的電荷量；
（3）若已知cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)距水平軌道高度h=10m，cd棒由靜止釋放后，為使cd棒中無(wú)感應(yīng)電流，可讓磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化，將cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻記為t=0，此時(shí)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀=1T，試求cd棒在傾斜軌道上下滑的這段時(shí)間內(nèi)，磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 由左、右手定則知道，當(dāng)cd棒下滑時(shí)產(chǎn)生由d向c的電流，而ab棒受到豎直向下的安培力，這樣ab棒始終靜止在水平軌道上．
（1）下滑過(guò)程中當(dāng)cd受到的合力為零時(shí)，速度達(dá)到最大，結(jié)合E=BLv，歐姆定律、安培力公式代入平衡條件就能求出最大速度．
（2）由能量守恒定律可以求出減少的機(jī)械能，從而減少的重力勢(shì)能求出，下滑的距離x也求出，磁通量的變化量求出，用平均值方法求出電荷量．
（3）由于cd中無(wú)感應(yīng)電流，則不受安培力，所以cd以gsinθ的加速度下滑，從而下滑的距離表達(dá)式可以寫(xiě)出來(lái)，由于△∅=0，所以先表示出初始狀態(tài)的磁通量，再表示出經(jīng)過(guò)t后的磁通量，兩者相等，就能寫(xiě)出B隨時(shí)間t的關(guān)系式．

解答 解：（1）cd棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，設(shè)為v_m，棒中感應(yīng)電動(dòng)分為E，電流為I，則
      E=BLv_m，$I=\frac{E}{2R}$
   由平衡條件得：mgsinθ=BIL 
   代入數(shù)據(jù)解得：v_m=1m/s
（2）設(shè)cd從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到達(dá)最大速度的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t，通過(guò)的距離為x，cd棒中平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E₁，
  平均電流為I₁，通過(guò)cd棒橫截面的電荷量為q，由能守恒定律得：
      $mgxsinθ=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+2Q$，
    代入得到x=1m，
   所以通過(guò)cd棒的電荷量：
     $q={I}_{1}t=\frac{{E}_{1}}{2R}t=\frac{\frac{{B}_{2}Lx}{t}}{2R}t=\frac{{B}_{2}Lx}{2R}=\frac{1×1×1}{2×0.5}$=1C
（3）設(shè)cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)穿過(guò)回路的磁通量為∅₀，cd棒在傾斜軌道上下滑的過(guò)程中，設(shè)加速大小為a，
 經(jīng)過(guò)時(shí)間t通過(guò)的距離為x₁，穿過(guò)回路的磁通量為Φ，cd棒在傾斜軌道上下滑時(shí)間為t₀，則：
∅₀=${B}_{0}L\frac{h}{sinθ}$  
   加速度：a=gxinθ  
   位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$   
  而 Φ=$BL（\frac{h}{sinθ}-{x}_{1}）$   
  當(dāng)cd棒下滑到最低點(diǎn)時(shí)有：
    $\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}$  
  解得：${t}_{0}=\sqrt{8}s$
為使cd棒中無(wú)感應(yīng)電流，必須有：∅₀=Φ  
解得$B=\frac{8}{8-{t}^{2}}$   （$t＜\sqrt{8}s$  ）
答：（1）導(dǎo)體棒cd沿斜軌道下滑的最大速度的大小為1m/s．
（2）若已知從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到cd棒達(dá)到最大速度的過(guò)程中，ab棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.45J，該過(guò)程中通過(guò)cd棒橫截面的電荷量為1C．
（3）若已知cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)距水平軌道高度h=10m，cd棒由靜止釋放后，為使cd棒中無(wú)感應(yīng)電流，可讓磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化，將cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻記為t=0，此時(shí)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀=1T，cd棒在傾斜軌道上下滑的這段時(shí)間內(nèi)，磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為$B=\frac{8}{8-{t}^{2}}$   （$t＜\sqrt{8}s$  ）．

點(diǎn)評(píng) 本題要注意的是：①看起來(lái)是雙桿問(wèn)題，但由于ab受到向下的安培力，則ab始終靜止，實(shí)際是單桿問(wèn)題．②cd下滑又要求無(wú)感應(yīng)電流，則任意時(shí)間t回路的磁通量相等，分別表示出初、末狀態(tài)的磁通量，則B隨時(shí)間t的關(guān)系式就能求出．