Question

一個豎直放置的光滑圓環(huán)，半徑為R，c、e、b、d分別是其水平直徑和豎直直徑的端點．圓環(huán)與一個光滑斜軌相接，如圖所示．一個小球從與d點高度相等的a點從斜軌上無初速下滑．試求：
（1）過b點時，對軌道的壓力N_b多大？
（2）小球能否過d點，如能，在d點對軌道壓力N_d多大？如不能，小球于何處離開圓環(huán)？

Answer 1

分析：（1）從a運動到b點的過程中機械能守恒，根據機械能守恒定律求出到達b點的速度，在b點根據向心力公式列式即可求解；
（2）先根據機械能守恒定律判斷小球能不能到達d點，若不能，則小球做斜拋運動，根據機械能守恒定律及幾何關系結合向心力公式即可求解從何處脫離軌道．

解答：解：（1）因為從a運動到b點的過程中機械能守恒，
則  mgha=

1

2

m

v

2 b

                             
解得：

v

2 b

=2gha=4gR
在b點，根據向心力公式得：
Nb-G=m

vb2

R

解得：Nb=mg+m

v 2 b

R

=mg+m

4gR

R

=5mg
（2）小球如能沿圓環(huán)內壁滑動到d點，表明小球在d點仍在做圓周運動，則Nd+G=m

vd2

R

由上式可見，G是恒量，隨著v_d的減小，N_d減��；
當Nd已經減小到零（表示小球剛能到d點，但球與環(huán)頂已是接觸而無擠壓，處于“若即若離”狀態(tài)）時，vd=

gR

是能過d點的最小速度．如小球速度低于這個速度，
就不可能沿圓環(huán)到達d點．這就表明小球如能到達d點，其機械能至少應是
Ed=mghd+

1

2

m

v

2 d

但是，小球在a點出發(fā)的機械能僅有E_a=mgh_a=mgh_d＜E_d
因此小球不可能到達d點．                                
由于hc=

1

2

h_a，E_a=E_d
所以mgha=mghc+

1

2

m

v

2 c

因此，v_c＞0，即小球從b滑到c點時仍有沿切線向上的速度，所以小球一定是在c、d之間的某點s離開圓環(huán)的．設半徑Os與豎直方向夾α角，
則由圖可見，小球高度h_s=（1+cosα）R
根據機械能守恒定律小球到達S點的速度V_S應符合：
mgha=mghs+

1

2

m

v

2 s

v

2 s

=2g(ha-hs)
所以

v

2 s

=2gR(1-cosα)①
小球從s點開始脫離圓環(huán)，所以圓環(huán)對小球已無彈力，僅由重力G
沿半徑方向的分力G₁提供向心力，即F_心=G₁=mgcosα，亦即mgcosα=m

vs2

R

②
將①式代入②式得     mgcosα=2mg（1-cosα）    
cosα=

2

3

                              
所以hs=(1+cosα)?R=

5

3

R
所以，小球到達高度為

5

3

R的s點開始脫離圓環(huán)，做斜上拋運動．
答：（1）過b點時，對軌道的壓力N_b為5mg；（2）小球能不能過d點，小球到達高度為

5

3

R的s點開始脫離圓環(huán)，做斜上拋運動．

點評：本題主要考查了機械能守恒定律、向心力公式的直接應用，要求同學們學會判斷能否到達最高點的方法并能結合幾何關系求解，難度較大．