Question

一個(gè)豎直放置的光滑圓環(huán)，半徑為R，c、e、b、d分別是其水平直徑和豎直直徑的端點(diǎn)．圓環(huán)與一個(gè)光滑斜軌相接，如圖所示．一個(gè)小球從與d點(diǎn)高度相等的a點(diǎn)從斜軌上無(wú)初速下滑．試求：

   （1） 過(guò)b點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力N_b多大？

   （2） 小球能否過(guò)d點(diǎn)，如能，在d點(diǎn)對(duì)軌道壓力N_d多大？如不能，小球于何處離開(kāi)圓環(huán)？

Answer 1

（1）因?yàn)?nbsp;                     

所以     

                       

       

（2）小球如能沿圓環(huán)內(nèi)壁滑動(dòng)到d點(diǎn)，表明小球在d點(diǎn)仍在做圓周運(yùn)動(dòng)，則

 

由上式可見(jiàn)，G是恒量，隨著V_d的減小，N_d減小。

當(dāng)Nd已經(jīng)減小到零（表示小球剛能到d點(diǎn)，但球與環(huán)頂已是接觸而無(wú)擠壓，處于“若即若離”狀態(tài)）時(shí),是能過(guò)d點(diǎn)的最小速度。如小球速度低于這個(gè)速度，

就不可能沿圓環(huán)到達(dá)d點(diǎn)．這就表明小球如能到達(dá)d點(diǎn)，其機(jī)械能至少應(yīng)是

但是，小球在a點(diǎn)出發(fā)的機(jī)械能僅有

因此小球不可能到達(dá)d點(diǎn)．     

因此，，即小球從b滑到c點(diǎn)時(shí)仍有沿切線(xiàn)向上的速度 ，所以小球一

定是在c、d之間的某點(diǎn)s離開(kāi)圓環(huán)的．設(shè)半徑Os與豎直方向夾α角，

則由圖可見(jiàn)，小球高度。根據(jù)機(jī)械能守恒定律小球到達(dá)S點(diǎn)的速度V_S應(yīng)符合：

沿半徑方向的分力G₁提供向心力，即亦即

                                     

小球從s點(diǎn)開(kāi)始脫離圓環(huán)，所以圓環(huán)對(duì)小球已無(wú)彈力，僅由重力G

將①式代入②式得     mgcosα=2mg（1-cosα）   

cosα=2/3                     

                   

所以，小球到達(dá)高度為5R/3的s點(diǎn)開(kāi)始脫離圓環(huán)，做斜上拋運(yùn)動(dòng)