Question

8．如圖所示，一質(zhì)量為m的小球P與穿過光滑水平板中央小孔O的輕繩相連，用手拉著繩子的另一端使小球在水平板上繞O做半徑為a，角速度為ω₁的勻速圓周運動．若將繩子從這個狀態(tài)迅速放松，后又拉緊，使小球繞O改做半徑為$\sqrt{2}$a的勻速圓周運動，則：
（1）從繩子放松到拉緊經(jīng)過多少時間？
（2）小球改做半徑為$\sqrt{2}$a的勻速圓周運動時的角速度ω₂多大？
（3）求這一過程中繩子拉力對小球做的功？

Answer 1

分析 （1）繩子放開后，球沿切線方向飛出，做勻速直線運動，結(jié)合幾何關(guān)系，可求運動時間；
（2）繩子放開后，球沿切線方向飛出，做勻速直線運動，到繩子突然張緊時，將速度沿切線方向和半徑方向正交分解，沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞b軌道勻速圓周運動，由牛頓第二定律和線速度與角速度的關(guān)系公式可求出角速度的大小．
（3）由動能定理可以求出繩子對小球做的功．

解答 解：（1）繩子放開后，球沿切線方向飛出，做勻速直線運動，如圖；

由幾何關(guān)系，位移為：x=$\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}-{a}^{2}}$=a，
線速度為：v₁=ω₁a；
故放開過程的時間為：t=$\frac{x}{{v}_{1}}$=$\frac{a}{{ω}_{1}a}$=$\frac{1}{{ω}_{1}}$．
（2）小球沿圓弧切線方向飛出后，到達新軌道時，繩子突然張緊，將速度沿切線方向和半徑方向正交分解，
沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞新軌道勻速圓周運動，如圖；

由幾何關(guān)系得到，由v₂=v₁sinθ=ω₁a×$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}{ω}_{1}a}{2}$，
線速度：ω₂=$\frac{{v}_{2}}{\sqrt{2}a}$=$\frac{{ω}_{1}}{2}$．
（3）由動能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²=-$\frac{1}{4}$mω₁²a²；
答：（1）從繩子放松到拉緊經(jīng)過的時間為$\frac{1}{{ω}_{1}}$．
（2）小球改做半徑為$\sqrt{2}$a的勻速圓周運動時的角速度ω₂為$\frac{{ω}_{1}}{2}$．
（3）這一過程中繩子拉力對小球做的功為-$\frac{1}{4}$mω₁²a²．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道松手后，小球沿切線方向飛出，繃緊后，沿半徑方向的分速度突然減為零，以切線方向的分速度繞b軌道勻速圓周運動．